MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 110

Z $A\setminus B=\varnothing$ wynika $A\subset B$. Zbiory są różne, więc zawieranie jest właściwe. Stąd $A\cap B=A$, $A\cup B=B$ i $A\cup B\subset B$. Natomiast $B\setminus A$ nie jest pusty.

Końce przedziału spełniają $1-\sqrt5\approx-1{,}236$ oraz $\sqrt3+2\approx3{,}732$. Należą do niego liczby całkowite $-1,0,1,2,3$, a suma ich kwadratów to $1+0+1+4+9=15.$

Liczby naturalne leżące ściśle między $2n$ i $3n$ to $2n+1,\ldots,3n-1$. Ich liczba wynosi $(3n-1)-(2n+1)+1=n-1.$

Warunek odległości ma postać $|x+4|\le5$, czyli $-9\le x\le1$. Spośród podanych liczb należy do tego przedziału tylko $-9$.

Dla $1<x<4$ mamy $|x-4|=4-x$ oraz $|1-x|=x-1$. Zatem $|x-4|-|1-x|=4-x-(x-1)=5-2x.$

Ponieważ $|x+2|+3\ge0$, kolejne moduły można usunąć:

Ponadto $\sqrt{x^2+4x+4}=|x+2|$. Różnica wynosi $7$.

Mamy $|2-x|=|x-2|$, więc lewa strona redukuje się do $|x-2|$. Równanie $|x-2|=4$ daje $x=2\pm4$, czyli $x=-2$ lub $x=6$.

Dla $x\ge0$ lewa strona wynosi $2x$, więc jest zerem tylko dla $x=0$. Dla każdego $x<0$ mamy $|x|=-x$, zatem $|x|+x=0$. Rozwiązań jest więc nieskończenie wiele.

Rozwiązujemy nierówności: $A=(-2;8),\qquad B=\langle-6;8\rangle.$ Każdy element $A$ należy do $B$, natomiast np. $-6\in B$ i $-6\notin A$. Zatem $A\subset B$.

Zmiana obu znaków w różnicy nie zmienia kwadratu: $(-x+y)^2=(-(x-y))^2=(x-y)^2.$ Pozostałe warianty są kwadratami sumy $x+y$.

Z $a=x-y$ mamy $a^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=x^2+y^2-2b.$ Stąd $x^2+y^2=a^2+2b$.

Mnożymy najpierw czynniki sprzężone:

Całe wyrażenie wynosi $(5-2a)(5+2a)=25-4a^2.$ Dla $a=\sqrt2$ otrzymujemy $25-8=17$.