MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 109

a)

b)

Z $a+b=4$ mamy

Kwadrat jest nieujemny, więc $a^2+b^2\ge8$. Równość zachodzi dla $a=b=2$.

Z założenia $k=8q+3$ dla pewnego $q\in\mathbb Z$. Wtedy

Reszta z dzielenia przez $8$ jest więc równa $2$.

Mamy $\overline{oko}=101o+10k.$ Modulo $7$ zachodzi $101\equiv10\equiv3$, więc podzielność przez $7$ oznacza $3(o+k)\equiv0\pmod7$. Tymczasem $\overline{kok}=101k+10o\equiv3(k+o)\equiv0\pmod7.$ Zatem druga liczba także jest podzielna przez $7$.

a)

b)

W obu przypadkach różnica lewej i prawej strony jest nieujemna.

a) Z $b<3$ i $a+b>4$ wynika $a>4-b>1$.

b) Z $b>2$ i $a+5b<7$ wynika $a<7-5b<-3$.

c) $a=3-\frac52b$. Dla $-8<b<8$ otrzymujemy $-17<a<23$.

d) $a=10-b$. Dla $4\le b<5$ mamy $5<a\le6$. Każdą wartość z podanych przedziałów można uzyskać dla odpowiedniego $b$.

Sprowadzamy każde równanie do postaci $|x|=r$.

a) $|x|=3$. b) $|x|=11$. c) $|x|=4$. d) $|x|=6$. e) $|x|=7$. f) $|x|=18$. Każda dodatnia wartość $r$ daje dwa rozwiązania $x=\pm r$.

a) $x+4=\pm3$, więc $x\in\{-7,-1\}$ i $|x|\in\{1,7\}$.

b) $-2\le x+4\le2$, więc $x\in\langle-6;-2\rangle$, a $|x|\in\langle2;6\rangle$.

c) $-4<x-1<4$, więc $x\in(-3;5)$. Przedział zawiera zero, zatem $|x|\in\langle0;5)$.

d) $x<-4$ lub $x>2$. Druga półprosta już daje wszystkie wartości $|x|>2$.

Nierówność definiująca $A$ daje $10x<3x+6$, czyli $x<\frac67$. Ponieważ $x$ jest całkowite, $A=\{\ldots,-2,-1,0\}$. Ponadto $B=\{-4,2\},\qquad C=\langle-2;2\rangle.$ Wykonując wskazane działania, pamiętamy, że z przedziału $C$ usuwamy pojedyncze liczby całkowite.

Z definicji odległości:

a) $A=\langle-2;6\rangle$, $B=(-\infty;-3\rangle\cup\langle1;\infty)$.

b) $A=\langle-5;-2\rangle\cup\langle2;5\rangle$, $B=\langle-3;5\rangle$.

c) $A=\langle-6;-1)\cup(1;6\rangle$, $B=(-\infty;-5)\cup(1;\infty)$.

Przecięcia, sumy i różnice odczytujemy z uporządkowanych końców.