MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 10

Skoro $7\mid x$ i $7\mid y$, istnieją $m,n\in\mathbb N$ takie, że $x=7m$ i $y=7n$. Warunek $x>y$ daje $m>n$, więc $m-n$ jest liczbą naturalną. Wówczas $x+y=7(m+n),\qquad x-y=7(m-n).$ Obie liczby są zatem wielokrotnościami $7$.

Rozkładamy liczby, dzieląc je kolejno przez liczby pierwsze:

a) $69=3\cdot23$.

b) $120=12\cdot10=2^3\cdot3\cdot5$.

c) $18\,900=189\cdot100=2^2\cdot3^3\cdot5^2\cdot7$.

d) $24\,642=2\cdot12\,321=2\cdot3^2\cdot37^2$.

e) $216\,000=216\cdot1000=2^6\cdot3^3\cdot5^3$.

Dla NWD bierzemy najmniejsze, a dla NWW największe wykładniki czynników pierwszych występujących w obu liczbach.

a) Ponieważ $12\mid144$, mamy $\operatorname{NWD}=12$ i $\operatorname{NWW}=144$.

b) $126=2\cdot3^2\cdot7$, $36=2^2\cdot3^2$, zatem $\operatorname{NWD}=18$, $\operatorname{NWW}=252$.

c) $155=5\cdot31$, $410=2\cdot5\cdot41$, zatem $\operatorname{NWD}=5$, $\operatorname{NWW}=12\,710$.

d) $840=2^3\cdot3\cdot5\cdot7$ oraz $10\,780=2^2\cdot5\cdot7^2\cdot11$, więc $\operatorname{NWD}=140$, $\operatorname{NWW}=64\,680$.

a) $21=3\cdot7$, $35=5\cdot7$, więc $x=\operatorname{NWW}(21,35)=3\cdot5\cdot7=105$. Stąd $\operatorname{NWD}(60,105)=15.$

b) $54=2\cdot3^3$, $72=2^3\cdot3^2$, więc $y=\operatorname{NWD}(54,72)=18$. Zatem $\operatorname{NWW}(15,18)=90.$

Obliczamy $x=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720.$ Najmniejsza liczba zawierająca czynniki potrzebne do podzielności przez $1,2,3,4,5,6$ to $y=\operatorname{NWW}(1,2,3,4,5,6)=2^2\cdot3\cdot5=60.$ Zatem $x:y=720:60=12$.

Suma cyfr liczby wynosi $25+2x$. Ponieważ liczba ma być siedmiocyfrowa, $x\ne0$.

a) $25+2x\equiv0\pmod3$, czyli $x\equiv1\pmod3$; stąd $x\in\{1,4,7\}$.

b) O podzielności przez $4$ decyduje liczba $70+x$ utworzona z dwóch ostatnich cyfr. Warunek $70+x\equiv0\pmod4$ daje $x\in\{2,6\}$.

c) Ostatnia cyfra musi być równa $0$ lub $5$, a $x\ne0$, więc $x=5$.

d) $25+2x\equiv0\pmod9$, zatem $x=1$.

Suma cyfr liczby $4375x$ jest równa $19+x$.

a) Warunek reszty $2$ modulo $9$ daje $19+x\equiv2\pmod9$, czyli $x=1$.

b) Reszta z dzielenia przez $25$ zależy od dwóch ostatnich cyfr. Liczba $50+x$ ma modulo $25$ tę samą resztę co $x$, zatem $x=7$.

a) Dla dwóch potęg liczby $10$ NWD ma mniejszy, a NWW większy wykładnik. Otrzymujemy $10^5$ oraz $10^7$.

b) Dla NWD bierzemy mniejsze wykładniki wspólnych czynników: $2^2\cdot3^2\cdot5=180.$ Dla NWW bierzemy wszystkie czynniki z największymi wykładnikami: $2^3\cdot3^3\cdot5^4\cdot7=945\,000.$

NWD trzech liczb można wyznaczyć jako $\operatorname{NWD}(x,y,z)=\operatorname{NWD}(\operatorname{NWD}(x,y),z).$ W rozkładach na czynniki pierwsze odpowiada to pozostawieniu tylko czynników występujących we wszystkich trzech liczbach, z najmniejszym wykładnikiem.

a) Wspólne są $2^1$ i $3^1$, natomiast czynnik $5$ nie występuje w $z$. Zatem NWD wynosi $2\cdot3=6$.

b) Minimalne wykładniki dają $2^1\cdot3^2\cdot5^1\cdot7^1=630.$

Zapiszmy $a=14u$, $b=14v$, gdzie $\operatorname{NWD}(u,v)=1$. Wtedy $\operatorname{NWW}(a,b)=14uv=462,$ czyli $uv=33=3\cdot11$. Względnie pierwsze pary czynników liczby $33$ to $(1,33)$ oraz $(3,11)$, wraz z parami w odwrotnej kolejności.

Jeżeli $d=\operatorname{NWD}(x,y)$, to $x=da$, $y=db$ dla względnie pierwszych $a,b$. Wtedy $\operatorname{NWW}(x,y)=dab,$ więc $d\mid\operatorname{NWW}(x,y)$ oraz $xy=d^2ab=\operatorname{NWD}(x,y)\cdot\operatorname{NWW}(x,y).$

a) $\operatorname{NWD}(24,66)=6$, $\operatorname{NWW}(24,66)=264$ i $24\cdot66=6\cdot264=1584$.

b) $\operatorname{NWD}(140,150)=10$, $\operatorname{NWW}(140,150)=2100$ i $140\cdot150=10\cdot2100=21\,000$.

c) $\operatorname{NWD}(132,198)=66$, $\operatorname{NWW}(132,198)=396$ i $132\cdot198=66\cdot396=26\,136$.