MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 108

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

a) $4a^2-1=(2a-1)(2a+1)$. b) $25-49x^2=(5-7x)(5+7x)$. c) $9m^2-n^2=(3m-n)(3m+n)$. d) $x^2y^2-16=(xy-4)(xy+4)$. e) $\frac{25}{16}p^4-1=(\frac54p^2-1)(\frac54p^2+1)$. f) $2a^2-4b^2=(a\sqrt2-2b)(a\sqrt2+2b)$.

Rozpoznajemy trójmiany będące pełnymi kwadratami.

a) $x^2+6x+9=(x+3)^2$. b) $4a^2-4a+1=(2a-1)^2$. c) $4x^2+12xy+9y^2=(2x+3y)^2$. d) $9a^2-30ab+25b^2=(3a-5b)^2$. e) $x^2y^2+8xy+16=(xy+4)^2$. f) $9x^4-12x^2y+4y^2=(3x^2-2y)^2$.

a) $a^2-5=(a-\sqrt5)(a+\sqrt5)$. b) $a^2b-ab^2=ab(a-b)$. c) $25a^2-30a+9=(5a-3)^2$. d) Szukamy liczb o sumie $-2$ i iloczynie $-3$: $a^2-2a-3=(a-3)(a+1)$.

Korzystamy kolejno z różnicy i sumy sześcianów.

a) Iloczyn jest równy $(a^2-4)(a^4+4a^2+16)=a^6-64$.

b) Iloczyn jest równy $(1-a^2)(1+a^2+a^4)=1-a^6$.

c) Tożsamość $(5^2-1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)=5^{16}-1$ pokazuje, że odejmowany iloczyn wynosi $5^{16}-1$. Wynik to $1$.

a) Wyrażenie jest równe $|x+1|+|x-7|$. Dla $-1<x<4$ mamy $x+1>0$ i $x-7<0$, więc wynik to $(x+1)+(7-x)=8$.

b) Wyrażenie ma postać $|2x+3|+2|x-3\sqrt2|$. W podanym przedziale $2x+3>0$ oraz $x-3\sqrt2<0$, zatem wynik wynosi $2x+3+2(3\sqrt2-x)=3+6\sqrt2$.

Usuwamy niewymierności:

\frac1{a+1}=\frac1{\sqrt2},\qquad \frac1{b+1}=\frac1{2+\sqrt2}=1-\frac1{\sqrt2}.

Sprowadzamy wyrażenia do sum kwadratów.

a) $2x^2+4xy+8y^2=2(x+y)^2+6y^2\ge0.$

b) $4x^2-20xy+28y^2=(2x-5y)^2+3y^2\ge0.$ Obie prawe strony są sumami nieujemnych składników.

Oznaczmy $t=a+b$.

a) $t^2+2(t+1)=t^2+2t+2=(t+1)^2+1>0.$

b) $2(t-1)-t^2=2t-2-t^2=-(t-1)^2-1<0.$ Nierówności są ostre dla każdej rzeczywistej wartości $t$.

Rozwiązujemy nierówność definiującą $A$:

Zatem $A=(-\infty;0\rangle$, $A'=(0;\infty)$.

a) $0\notin A'$, więc zdanie jest prawdziwe. b) $A\cap(-5;5)=(-5;0\rangle$, więc $(-5;0)$ jest jego podzbiorem. c) Cały przedział $\langle-1;0\rangle$ leży w $A$, więc różnica jest pusta.

Niech liczby będą równe $n$ i $n+1$. Wtedy

Stąd $2n=104$, czyli $n=52$.

Zakładamy $x\ne0$.

a) Podnosząc $x+\frac1x=a$ do kwadratu: $x^2+2+\frac1{x^2}=a^2,$ więc $x^2+\frac1{x^2}=a^2-2$.

b) Podnosimy otrzymaną równość do kwadratu:

Po odjęciu $2$ dostajemy $a^4-4a^2+2$.