MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 107

Pięć liczb całkowitych w takim przedziale to pięć kolejnych liczb: $n-2,n-1,n,n+1,n+2$. Ich suma wynosi $5n=30$, więc $n=6$. Są to $4,5,6,7,8$, a przedział domknięty ma końce $4$ i $8$.

a) Wystarczy, aby $X$ przeciął $A$ albo $B$, np. $\langle2;3\rangle$, $(4;5)$ lub $(7;9)$.

b) $X$ musi uzupełnić lukę między $A$ i $B$ oraz odcinek do $10$. Przykładowo działają $(2;10\rangle$, $\langle4;10\rangle$, $\langle5;10\rangle$.

c) Ponieważ $A$ i $B$ są rozłączne, obie różnice będą równe tylko wtedy, gdy $X$ zawiera całe $A\cup B$. Przykłady: $\langle1;9\rangle$, $(0;10)$, $\langle1;20)$.

Zbiór jest częścią wspólną $(-\infty;4\rangle$ i $(-\infty;a)$.

a) Aby otrzymać $(-\infty;4)$, musi być $a=4$. b) Nie można otrzymać liczb większych od $4$, więc brak wartości $a$. c) Punkt $4$ ma należeć do zbioru, zatem $a>4$. d) Aby prawym otwartym końcem było $1$, musi być $a=1$.

a) Z $|B'|=4$ i $|U|=10$ mamy $|B|=6$. Zatem $|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=6+6-8=4.$

b) Z $|A'|=3$ mamy $|A|=7$. Zbiór $A$ jest rozłączną sumą $A\cap B$ i $A\cap B'$, więc $|A\cap B|=7-4=3$.

Po usunięciu nawiasów i redukcji:

a) $-0{,}6x-8{,}8>-10$, więc $x<2$. b) $-7x+1{,}5\le-4x$, więc $x\ge\frac12$. c) $2-2x<3-2x$, prawdziwe dla każdego $x$. d) $\frac{29}{14}x\ge\frac{29}{2}$, więc $x\ge7$. e) $-x-7\le-x+13$, prawdziwe dla każdego $x$. f) $2+\frac{x^2}{9}>\frac{x^2}{9}-1$, także zawsze prawdziwe.

a) Suma kwadratów wyrażeń sprzężonych redukuje składniki mieszane: $2\cdot3+2\cdot5=16.$

b) Traktujemy wyrażenia jako $(\sqrt2\pm(\sqrt3-\sqrt5))^2$. Suma wynosi $2\cdot2+2(\sqrt3-\sqrt5)^2=20-4\sqrt{15}.$

c) Ze wzoru $(u+v)^4-(u-v)^4=8uv(u^2+v^2)$ dostajemy $8\sqrt{10}(2+5)=56\sqrt{10}$.

Korzystamy z $\sqrt{u^2}=|u|$.

a) $(6+\sqrt2)+(5-\sqrt2)=11$. b) $(\sqrt5-1)+(\sqrt5+2)=2\sqrt5+1$. c) $(\frac12+2\sqrt2)+(\frac32-\sqrt2)=2+\sqrt2$. d) $(\sqrt8-\sqrt7)+(3-\sqrt8)=3-\sqrt7$.

Ponieważ $a=\sqrt3-\sqrt2,\qquad b=\sqrt3+\sqrt2,$ mamy $ab=1$ i $a+b=2\sqrt3$.

a) $ab=1$. b) $(a+b)^2=12$. c) $\frac ab=(\sqrt3-\sqrt2)^2=5-2\sqrt6$. d) $a^2-b^2=-4\sqrt6$. e) $\frac ab+\frac ba=\frac{a^2+b^2}{ab}=10$. f) $\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=10$.