MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 106

Każdy uczeń rozwiązał dokładnie dwa zadania. Suma liczebności osób, które rozwiązały poszczególne zadania, liczy więc każdego ucznia dwa razy: $23+10+21=54=2N.$ Stąd $N=27$.

Stosujemy zasadę włączeń i wyłączeń.

a) Liczba wszystkich uczestników: $24+21+14-14-7-8+3=33.$

b) Tylko taniec: $24-14-7+3=6$.

c) Dokładnie dwa rodzaje: $(14-3)+(7-3)+(8-3)=20$.

d) Dokładnie dwa, w tym gitara: $(7-3)+(8-3)=9$.

Różnica to $A\setminus B=A\cap B'$.

a) Z prawa de Morgana $A\cap B'=(A'\cup(B')')'=(A'\cup B)'$.

b) Bezpośrednio $A\setminus B=A\cap B'$.

Z opisu końców na osi odczytujemy, czy nierówność jest ostra.

a) Oba końce otwarte: $-15<x<-9$. b) Oba domknięte: $-3\le x\le\frac13$. c) Lewy otwarty, prawy domknięty: $0<x\le4\frac34$. d) Lewy domknięty, prawy otwarty: $0{,}25\le x<19$.

A) Ponieważ $x^2\ge0$, nierówność $x^2+11>0$ zachodzi dla każdego $x$.

B) Mnożymy nierówność przez $12$: $4x+3(2x-1)>24x-12,$ czyli $9>14x$, zatem $x<\frac9{14}$.

C) $|x-1|\le3$ daje $-2\le x\le4$.

a) Każda wielokrotność $6$ jest wielokrotnością $3$, więc $A\subset B$.

b) Liczba pierwsza nie jest złożona, więc $A\not\subset B$.

c) Jeśli $\sqrt[4]x$ jest wymierny, to $\sqrt x=(\sqrt[4]x)^2$ także jest wymierny. Zatem $A\subset B$.

d) Dla $n=1$ liczba $(-2)^3=-8$ należy do $A$, lecz nie do $B$, który zawiera nieujemne potęgi o parzystym wykładniku. Zatem brak zawierania.