MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 105

Szukamy kombinacji różnych elementów o sumie $12$. Pary to $\{1,11\}$, $\{3,9\}$ i $\{5,7\}$. Trójki to $\{1,2,9\}$ oraz $\{2,3,7\}$. Najmniejsza suma czterech różnych elementów wynosi $1+2+3+5=11$, a zastąpienie któregokolwiek większym daje co najmniej $13$, więc innych podzbiorów nie ma.

Po uporządkowaniu: $A=\{2,3,5,7,8,9\},\qquad B=\{2,3,5,6,7,9\}.$ Zbiory różnią się tylko elementami $8$ i $6$. Usunięcie ich pozostawia w obu przypadkach zbiór $\{2,3,5,7,9\}$.

Jedynym pierwszym dzielnikiem $81=3^4$ jest $3$, zatem $A=\{3\}$. Warunek $9\le|k|<11$ pozwala na $|k|=9$ lub $|k|=10$, więc $k=\pm9,\pm10$.

a) Każdy wspólny nadzbiór musi zawierać sumę $A\cup B$: $A\cup B=\{2,5,6,8\}.$ Ma ona cztery elementy, więc jest szukanym zbiorem.

b) Piątym elementem może być dowolny obiekt spoza tej czwórki. Bez ograniczenia przestrzeni istnieje nieskończenie wiele takich zbiorów.

Liczymy liczby całkowite w trzech rozłącznych częściach.

a) $A\cap B$ zawiera $1$, $A\setminus B$ zawiera $3$, a $B\setminus A$ zawiera $5$ liczb całkowitych.

b) Liczności wynoszą odpowiednio $6$, $7$, $4$.

c) Ponieważ $B\subset A$, część wspólna zawiera $10$ liczb, $A\setminus B$ zawiera $5$, a $B\setminus A$ żadnej.

a) Warunki wymuszają obecność $1,2,3,5,6$ i wykluczają $4$, więc $X=\{1,2,3,5,6\}$.

b) Zbiór ma zawierać $2,4$, może korzystać tylko z $2,4,6$, a $6$ jest wykluczone. Zatem $X=\{2,4\}$.

Wśród liczb od $1$ do $1000$ jest $333$ wielokrotności $3$, $200$ wielokrotności $5$ i $66$ wielokrotności $15$. Zatem $333+200-66=467$ liczb jest podzielnych przez $3$ lub $5$, a pozostałych jest $1000-467=533$.