MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 104

Sprowadzamy lewe strony do kwadratów i korzystamy z $u^2=r^2$.

a) $|x+2|=5$, więc $x=-7$ lub $x=3$. b) $(x+2)^2=25$, więc $x=-7$ lub $x=3$. c) $(x-1)^2=4$, więc $x=-1$ lub $x=3$. d) $(x-\frac52)^2=\frac14$, więc $x=2$ lub $x=3$.

Równanie $|x-c|=r$ ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $r=0$.

a) $a^2=0$, więc $a=0$. b) $a^2-1=0$, więc $a=\pm1$. c) $a^2-a=0$, więc $a=0$ lub $a=1$.

Moduł ma minimum $0$. Nierówność $|x-c|>r$ ma być prawdziwa także w punkcie $x=c$, więc konieczny i wystarczający jest warunek $r<0$.

a) $a-2<0$, zatem $a<2$. b) $2-3a<0$, zatem $a>\frac23$.

a) Ponieważ $\sqrt7\in(2;3)$, dla $n=0,1,2$ suma wynosi $(5-\sqrt7)+(\sqrt7-n)=5-n\in\mathbb N$. Dla $n\ge3$ pozostaje nieusuwalny składnik z $\sqrt7$.

b) Mamy $\sqrt{63}\in(7;8)$. Dla $n=0,\ldots,7$ suma wynosi $(\sqrt{63}-n)+(8-\sqrt{63})=8-n\in\mathbb N$. Dla $n\ge8$ pozostaje nieusuwalny składnik z $\sqrt{63}$.