MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 103

Ponieważ $x<y$, mamy $|x-y|=y-x=-(x-y)$.

a)

b)

Mianowniki są niezerowe, bo $x<y$.

Z $|x|-|y|=0$ wynika $|x|=|y|$. Podnosząc obie nieujemne strony do kwadratu, otrzymujemy $|x|^2=|y|^2$, czyli $x^2=y^2$.

Podnosimy obie nieujemne strony założenia do kwadratu:

Stąd $xy=|xy|$, co zachodzi dokładnie dla $xy\ge0$.

Po podniesieniu obu stron założenia do kwadratu dostajemy

Zatem $-xy=|xy|$, a więc $xy\le0$.

Sprowadzamy środek każdej podwójnej nierówności do zera.

a) $|x-3|<1$, skąd $2<x<4$.

b) Środkiem granic $-11,7$ jest $-2$: $|3-2x+2|<9$, czyli $|x-2{,}5|<4{,}5$. Stąd $-2<x<7$.

c) $|x-1{,}5|\le0{,}5$, skąd $1\le x\le2$.

d) $|x-2|\le4$, skąd $-2\le x\le6$.

Najpierw wyznaczamy możliwe wartości $x$.

a) $x=\pm7$, więc $|x+3|\in\{4,10\}$. b) $x=-1$ lub $7$, więc $|x-5|\in\{2,6\}$. c) $x=-14$ lub $16$, więc $|x+4|\in\{10,20\}$. d) $x=-8$ lub $-2$, więc $|2-x|\in\{4,10\}$.

Zamieniamy każdy pierwiastek z kwadratu na moduł.

a) $|x|=2$, więc $x=\pm2$. b) $|x-4|=5$, więc $x=-1$ lub $9$. c) $|x-3|=3$, więc $x=0$ lub $6$. d) $|x+2|=1$, więc $x=-3$ lub $-1$. e) $|x+1|=x+1$ zachodzi dla $x\ge-1$. f) $|x-1|=|x+1|$ oznacza równą odległość od $1$ i $-1$, więc $x=0$.

a) Pierwiastek jest równy $|x-3|$, więc otrzymujemy $|x-3|\le3+|x-3|$, prawdziwe dla każdego $x$.

b) Pierwiastek jest równy $|2x-1|$. Nierówność jest równoważna $0\le2+2|2x-1|$, więc także zachodzi dla każdego $x$.

Korzystamy z warunków $|u|\le u\iff u\ge0$, $|u|\le-u\iff u\le0$ oraz ostrych odpowiedników.

a) $x\ge3$. b) $x\le7$. c) $x\ge-5$. d) $x\le-1$. e) $x<6$. f) $x>11$. g) $x<-113$. h) $x>-0{,}9$.