MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 102

Najpierw rozwiązujemy warunki definiujące zbiory:

$$A=(-\infty;-1)\cup(4;\infty),\qquad B=\langle-9;5\rangle.$$

Z osi liczbowej odczytujemy:

$$A\cup B=\mathbb R,\qquad A\cap B=\langle-9;-1)\cup(4;5\rangle,$$ $$A\setminus B=(-\infty;-9)\cup(5;\infty),\qquad B\setminus A=\langle-1;4\rangle.$$

Wyrażenie jest równe $|a+3|-|a-4|$.

a) Dla $a<-3$: $-(a+3)-(4-a)=-7$. b) Dla $-3\le a<4$: $(a+3)-(4-a)=2a-1$. c) Dla $a\ge4$: $(a+3)-(a-4)=7$.

Po rozpoznaniu kwadratów wyrażenie ma postać $|a-1|+|a+2|-2|a-3|.$ Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez $-2,1,3$.

a) Dla $a<-2$ wynik to $-7$. b) Dla $-2\le a<1$ wynik to $2a-3$. c) Dla $1\le a<3$ wynik to $4a-5$. d) Dla $a\ge3$ wynik to $7$.

a) Pierwiastki są równe $|x+2|$ i $|x-2|$. Dla $-2\le x\le2$ ich suma wynosi $(x+2)+(2-x)=4$.

b) Warunek $|x+3|\le3$ daje $-6\le x\le0$. W tym przedziale $|x+6|+|x|=(x+6)-x=6$.

Dla przedziału o środku $c$ i promieniu $r$ używamy $|x-c|<r$ lub $|x-c|\le r$. Dla dwóch zewnętrznych półprostych odwracamy znak. Skan strony potwierdza domknięcie obu granic w e) i f), zgubione w źródłowym OCR Markdown.

a) Środek $2$, promień $6$. b) Środek $-8$, promień $3$. c) Środek $-1$, promień $3$. d) Środek $-1$, promień $3$, obszar zewnętrzny. e) Środek $1{,}25$, promień $5{,}5$, obszar zewnętrzny domknięty. f) Środek $-5$, promień $3$, obszar zewnętrzny domknięty.

W nierówności $|x-a|\le b$ liczba $a$ jest środkiem przedziału, a $b$ jego połową długości.

a) $a=2$, $b=5$. b) $a=4$, $b=2$. c) $a=-5$, $b=4$. d) $a=2$, $b=\frac52$. e) $a=\frac32\pi$, $b=\frac52\pi$. f) $a=\sqrt2$, $b=2\sqrt2$.

Zbiór $|x+a|>b$ jest obszarem na zewnątrz przedziału o środku $-a$ i promieniu $b$.

a) Końce $-6,2$ mają środek $-2$ i odległość $4$, więc $a=2$, $b=4$.

b) Wykluczony jest tylko środek $-4$, co odpowiada $|x+4|>0$: $a=4$, $b=0$.

c) W punkcie $x=-a$ lewa strona wynosi $0$. Nierówność jest prawdziwa dla każdego $x$ dokładnie przy $b<0$, dla dowolnego $a$.