MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 101

Moduł ma minimum $0$, gdy jego wnętrze jest zerem.

a) Minimum $|x|$ to $0$. b) Minimum $|x-12|$ to $0$. c) Minimum $|x|+7$ to $7$. d) Minimum $|x-4|-3$ to $-3$. e) $2-|x|$ jest nieograniczone z dołu, więc minimum nie istnieje.

a) Fałsz: dla $a=1$, $b=-1$ moduły są równe, ale $a\ne b$.

b) Prawda: równe liczby mają równe wartości bezwzględne.

c) Fałsz: dla $a=1$, $b=-1$ lewa strona wynosi $0$, a prawa $2$.

d) Fałsz: dla $a=1$, $b=2$ lewa strona wynosi $1$, a prawa $-1$.

Przekładamy położenie $x$ względem zera na jego odległość od zera.

a) Z $-5\le x\le5$ wynika $|x|\le5$. b) Z $x\le-2$ wynika $|x|\ge2$. c) Jeśli $x<-1$ lub $x>6$, to $|x|>1$. d) Z $-4<x<8$ wynika $|x|<8$.

I. Zdanie jest fałszywe: liczba na granicy przedziału zaokrąglania może być odległa od $6{,}3$ dokładnie o $0{,}05$, a nierówność jest ostra.

II. Warunek oznacza $6{,}25<a<6{,}35$, więc każda taka liczba zaokrągla się do części dziesiątych do $6{,}3$.

Równość $|u|=u$ zachodzi dla $u\ge0$, a $|u|=-u$ dla $u\le0$.

a) $x-2\ge0$, więc $x\ge2$. b) $x-7\le0$, więc $x\le7$. c) $x+5\le0$, więc $x\le-5$. d) $x+3\ge0$, więc $x\ge-3$.

a) Moduł jest nieujemny, więc nierówność zachodzi dla każdego $x$.

b) Moduł ma być nie większy od zera, więc $|2-x|=0$ i $x=2$.

c) $|x+2|<3$, stąd $-5<x<1$.

d) $|x-5|<2$, stąd $3<x<7$.

Nierówność $r<|u|<R$ opisuje punkty odległe od zera o więcej niż $r$ i mniej niż $R$.

a) $x\in(-4;-1)\cup(1;4)$. b) $1<|x-2|<4$, więc $x\in(-2;1)\cup(3;6)$. c) $2<|x+8|<3$, więc $x\in(-11;-10)\cup(-6;-5)$. d) $1<|x-1|\le2$, więc $x\in\langle-1;0)\cup(2;3\rangle$.

Wnętrze modułu jest równe prawej stronie albo liczbie do niej przeciwnej.

a) $2x-1=\pm6$, więc $x=-\frac52$ lub $x=\frac72$. b) $1+3x=\pm4$, więc $x=-\frac53$ lub $x=1$. c) $0{,}1x-1=\pm1{,}8$, więc $x=-8$ lub $x=28$. d) $2-7x=\pm12$, więc $x=-\frac{10}{7}$ lub $x=2$. e) $0{,}2x+0{,}5=\pm1{,}5$, więc $x=-10$ lub $x=5$. f) $1-0{,}5x=\pm12$, więc $x=-22$ lub $x=26$.