MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 9

Kwadrat liczby naturalnej rośnie wraz z liczbą, więc wystarczy sprawdzić wartości graniczne. Mamy $3^2=9<10$, $4^2=16>10$ oraz $5^2=25\leq 30$, $6^2=36>30$. Liczby pierwsze mają dokładnie dwa dzielniki naturalne, a liczby złożone więcej niż dwa.

Liczba podzielna przez daną dodatnią liczbę jest jej całkowitą wielokrotnością. Wspólna wielokrotność $3$ i $7$ jest wielokrotnością $\operatorname{NWW}(3,7)=21$. Resztę $2$ przy dzieleniu przez $3$ otrzymują liczby o dwa większe od wielokrotności $3$.

Trzy kolejne liczby naturalne zaczynające się od $n$ to $n,n+1,n+2$. Kolejne liczby nieparzyste różnią się o $2$, więc można je zapisać jako $2n+1$ i $2n+3$. Kwadrat liczby $n$ to $n^2$, a dwie kolejne liczby naturalne mają kwadraty $n^2$ i $(n+1)^2$.

Kolejne liczby nieparzyste różnią się o $2$. W podpunkcie a) do podanej pierwszej liczby dodajemy kolejno $2$ i $4$. W b) podana jest liczba środkowa, więc odejmujemy i dodajemy $2$. W c) od ostatniej liczby odejmujemy kolejno $4$ i $2$.

Liczby dwucyfrowe tworzą przedział od $10$ do $99$, więc jest ich $99-10+1=90$. Analogicznie liczb trzycyfrowych jest $999-100+1=900$, a pięciocyfrowych $99\,999-10\,000+1=90\,000$. Liczby $n$-cyfrowe biegną od $10^{n-1}$ do $10^n-1$, zatem jest ich $10^n-10^{n-1}=9\cdot10^{n-1}.$

Dwucyfrowe wielokrotności $7$ to liczby od $14=2\cdot7$ do $98=14\cdot7$, czyli $13$ liczb. Wielokrotnościami zarówno $7$, jak i $5$ są wielokrotności $35$: $35$ i $70$.

Dwucyfrowych wielokrotności $5$ jest $18$. Z zasady włączeń i wyłączeń liczb podzielnych przez $7$ lub $5$ jest $13+18-2=29.$ Po usunięciu z trzynastu wielokrotności $7$ dwóch wielokrotności $35$ pozostaje $11$ liczb.