MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 7

Podzielność przez $12$ jest równoważna podzielności przez $3$ i $4$. Końcówka $8b$ ma być podzielna przez $4$, więc $b\in\{0,4,8\}$. Suma cyfr liczby wynosi $27+a+b$, zatem potrzebujemy $a+b\equiv0\pmod3$.

• dla $b=0$: $a\in\{0,3,6,9\}$;
• dla $b=4$: $a\in\{2,5,8\}$;
• dla $b=8$: $a\in\{1,4,7\}$.

Zapiszmy $x=5k+2$ oraz $y=5l+3$. Wtedy

$3x+2y=15k+6+10l+6=5(3k+2l+2)+2.$

Pozostała reszta wynosi zatem $2$.

Iloczyn ma postać

$2n(2n+1)(2n+2)=4n(n+1)(2n+1).$

Spośród dwóch kolejnych liczb $n,n+1$ jedna jest parzysta, więc $2\mid n(n+1)$. Cały iloczyn zawiera zatem czynnik $4\cdot2=8$ i jest podzielny przez $8$.

Warunek $\operatorname{NWD}(x,y)=x$ oznacza, że $x\mid y$. Jeśli jedna liczba dzieli drugą, ich najmniejszą wspólną wielokrotnością jest większa z nich, tutaj $y$.

Liczba ma być podzielna przez $11$ i $2$, czyli przez $22$. Najmniejszą trzycyfrową wielokrotnością $22$ jest $x=110$. Podzielność przez $9$ i $4$ oznacza podzielność przez $36$; największą czterocyfrową wielokrotnością $36$ jest

$y=36\cdot277=9972.$

Algorytm Euklidesa daje

$\operatorname{NWD}(9972,110)=\operatorname{NWD}(110,72)=\operatorname{NWD}(72,38)=\operatorname{NWD}(38,34)=2.$

Liczba $2$ jest pierwsza.