MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 6

Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:

$48=2^4\cdot3,\qquad 56=2^3\cdot7.$

Ich największy wspólny dzielnik to $2^3=8$. Wspólne dzielniki obu liczb są więc dokładnie dzielnikami liczby $8$: $1,2,4,8$. Są cztery.

Liczby $9=3^2$, $39=3\cdot13$ i $49=7^2$ są złożone. Liczby $19$, $29$ i $59$ nie mają dzielników pierwszych nie większych od swoich pierwiastków, więc są pierwsze. Otrzymujemy trzy liczby pierwsze.

Ostatnią cyfrą liczby $3\,581\,934$ jest $4$, zatem liczba jest parzysta i dzieli się przez $2$. Suma cyfr wynosi

$3+5+8+1+9+3+4=33,$

a $33$ dzieli się przez $3$. Liczba dzieli się jednocześnie przez względnie pierwsze liczby $2$ i $3$, więc dzieli się przez $6$.

O reszcie z dzielenia przez $4$ decydują dwie ostatnie cyfry. Ponieważ $33=4\cdot8+1$, liczba $12\,333$ daje przy dzieleniu przez $4$ resztę $1$.

Jeżeli $21\mid n$ i $20\mid n$, to w rozkładzie $n$ występują wszystkie czynniki z

$21=3\cdot7,\qquad 20=2^2\cdot5.$

W szczególności $2\mid n$ i $7\mid n$. Ponieważ $\operatorname{NWD}(2,7)=1$, mamy $2\cdot7=14\mid n$. Równoważnie: $\operatorname{NWW}(21,20)=420$, a $14\mid420$.

Z $6\mid n$ wynika $2\mid n$, a z $25\mid n$ wynika $5\mid n$. Liczby $2$ i $5$ są względnie pierwsze, zatem $10=2\cdot5\mid n$. Można też zauważyć, że $\operatorname{NWW}(6,25)=150$, które dzieli się przez $10$.