MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 59

Z pierwszego równania $2y=10-5x$. W drugim zastępujemy $-4y$ przez $-2(10-5x)$: $-3x-2(10-5x)=1,$ stąd $7x=21$, czyli $x=3$. Następnie $2y=10-15=-5$, więc $y=-\frac52$.

Z drugiego równania $y=3-3x$. Po podstawieniu do pierwszego: $3x-4(3-3x)=-2,$ czyli $15x=10$. Zatem $x=\frac23$ oraz $y=1$.

Równanie $0=3$ jest sprzeczne, niezależnie od wartości $x$ i $y$. Układ nie ma więc rozwiązań.

Równanie A ma współczynniki $(2,1)$, nieproporcjonalne do $(2,-1)$, więc proste przecinają się w jednym punkcie. W B–D lewe strony są proporcjonalne albo identyczne z $2x-y$, lecz prawe strony nie dają tego samego równania; te układy są sprzeczne.

Wyznacznik macierzy współczynników wynosi $2-3m$. Gdy $m\ne\frac23$, jest niezerowy, zatem układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla $m=\frac23$ pomnożenie pierwszego równania przez $3$ daje $3x+2y=12$, podczas gdy drugie ma prawą stronę $-1$ — układ jest sprzeczny.