MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 54

$\sqrt{(1-\sqrt3)^2}=|1-\sqrt3|=\sqrt3-1,$ ponieważ $1<\sqrt3$. Ponadto $2\sqrt3<9$, więc $\sqrt{(2\sqrt3-9)^2}=9-2\sqrt3.$ Różnica wynosi $(\sqrt3-1)-(9-2\sqrt3)=3\sqrt3-10$.

Wyłączamy $ab$: $a^3b+ab^3=ab(a^2+b^2).$ Z danych $a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=16+14=30.$ Zatem wartość wyrażenia wynosi $7\cdot30=210$.

Mianowniki są dodatnie, więc porównujemy iloczyny krzyżowe. Różnica prawego iloczynu i lewego wynosi

Mamy $a-b>0$. Ponadto $a>b\ge1$, więc $ab(a+b)>2$. Oba czynniki są dodatnie, zatem różnica jest dodatnia i $\frac{a}{2+a^3}<\frac{b}{2+b^3}.$

Lewa strona ma postać

Pierwszy kwadrat jest nieujemny, a ponieważ $x\ne y$, drugi jest ściśle dodatni. Suma jest więc dodatnia.