MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 45

Trzy kolejne liczby parzyste zapiszmy jako $2n$, $2n+2$, $2n+4$. Suma ich kwadratów wynosi

Ma więc postać wielokrotności $12$ powiększonej o $8$, a zatem daje resztę $8$ przy dzieleniu przez $12$.

Modulo $3$ mamy $7\equiv4\equiv1$, więc $7^{16}-4^{16}\equiv0\pmod3$. Modulo $11$: $7^2\equiv4^2\equiv5,\quad 7^4\equiv4^4\equiv3,\quad 7^8\equiv4^8\equiv9,$ a zatem $7^{16}\equiv4^{16}\equiv4\pmod{11}$. Różnica dzieli się przez $3$ i przez $11$, a liczby te są względnie pierwsze, więc dzieli się przez $33$.

Grupujemy wyrażenie w dwa kwadraty:

Jest to suma dwóch liczb nieujemnych, więc dla każdych rzeczywistych $x,y$ ma wartość co najmniej zero.