MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 44

Lewa strona jest pełnym kwadratem: $3x^2+4\sqrt3x+4=(\sqrt3x+2)^2.$ Równanie daje $\sqrt3x+2=0$, więc $x=-\frac2{\sqrt3}=-\frac{2\sqrt3}{3}.$

Lewa strona upraszcza się do $(x-\tfrac12)^2-x^2-\tfrac14=-x.$ Prawa strona to $(2x-3)[(2x+3)-(2x-3)]=6(2x-3)=12x-18.$ Z równania $-x=12x-18$ otrzymujemy $13x=18$.

Po rozwinięciu obu stron: $4x^2-6\sqrt3x+3=4x^2+4x+1.$ Po skróceniu $4x^2$ dostajemy $2=x(4+6\sqrt3)$, czyli $x=\frac1{2+3\sqrt3}.$ Szukana liczba odwrotna wynosi więc $2+3\sqrt3$.

Przenosimy prawą stronę na lewą: $4x^2-2x+\frac{13}{4}\ge0.$ Wyrażenie można zapisać jako $\left(2x-\frac12\right)^2+3\ge0.$ Kwadrat jest nieujemny, a po dodaniu $3$ całość jest dodatnia dla każdego $x$.

Lewa strona nierówności jest kwadratem: $9-3x+\frac14x^2=\left(\frac{x}{2}-3\right)^2.$ Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, zatem warunek $\left(\frac{x}{2}-3\right)^2<0$ jest niemożliwy.