MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 43

Oba czynniki pod pierwiastkami są dodatnie, więc można je połączyć:

Iloczyn pod pierwiastkiem to $15-11=4$, zatem liczba jest równa $2$ i jest wymierna.

Ponieważ oba czynniki pod pierwiastkami są dodatnie,

Otrzymana liczba jest wymierna.

Przekształcamy lewą stronę do sumy kwadratów:

Każdy kwadrat jest nieujemny, więc ich suma również jest nieujemna dla dowolnych $a,b\in\mathbb R$.

Z nieujemności kwadratu różnicy mamy $(x-y)^2\ge0\iff x^2+y^2\ge2xy.$ Ponieważ $x^2+y^2=2$, otrzymujemy $xy\le1$. Zatem $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy\le2+2=4.$ Dla dodatnich $x,y$ również $x+y>0$, więc $x+y\le2$.

Rozkładamy liczbę na czynniki: $k^3m-km^3=km(k-m)(k+m).$ Iloczyn jest parzysty: gdy $k,m$ mają różną parzystość, parzyste jest $km$, a gdy mają tę samą, parzyste są $k-m$ i $k+m$. Jest też podzielny przez $3$: jeśli $3$ dzieli $k$ lub $m$, teza jest oczywista; w przeciwnym razie reszty $k,m$ modulo $3$ są równe co do wartości bezwzględnej, więc $3$ dzieli $k-m$ albo $k+m$. Iloczyn dzieli się zatem przez $2\cdot3=6$.