MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 42

Wyłączamy $2$ i rozpoznajemy kwadrat różnicy: $8x^2-40xy+50y^2=2(4x^2-20xy+25y^2)=2(2x-5y)^2.$

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

Obliczamy różnicę wskazanych wartości:

Wyrażenie jest kwadratem różnicy: $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$. Ponieważ $\sqrt{125}=5\sqrt5$, $x-y=(3\sqrt5-1)-(5\sqrt5+1)=-2\sqrt5-2.$ Zatem $(x-y)^2=4(\sqrt5+1)^2=24+8\sqrt5.$

Równość kwadratów zachodzi wtedy, gdy $x\sqrt2-2=\pm(2+\sqrt2).$ Dla znaku minus otrzymujemy $x\sqrt2=-\sqrt2$, więc $x=-1$. Jest to jedna z podanych możliwości.

Łączymy czynniki przed podniesieniem do kwadratu:

Iloczyn w nawiasie to $20-9=11$, zatem wynik wynosi $11^2=121$.

Obliczamy kolejno:

Suma wynosi $21$. Jeżeli jest to $5\%$ szukanej liczby $N$, to $0{,}05N=21$, więc $N=420$.