MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 40

Mnożymy każdy składnik pierwszej sumy przez każdy składnik drugiej:

$$(3x-5x^2)(-2x^4-5) =-6x^5-15x+10x^6+25x^2.$$

Po uporządkowaniu jest to $10x^6-6x^5+25x^2-15x$.

$$(x-2)(x+3)=x^2+x-6,$$ $$(x-5)(x+6)=x^2+x-30.$$

Różnica tych wyrażeń jest stale równa $24$, a więc jest dodatnia dla każdego $x$.

Rozwijamy iloczyny:

$$(2x+5)(3x-4)=6x^2+7x-20,$$ $$(2-x)(6x+7)=-6x^2+5x+14.$$

Po dodaniu ich i odjęciu $12x$ pozostaje $-6$, czyli liczba ujemna niezależna od $x$.

Krawędzie mają długości $3x+1$, $3x+2$, $3x+3$. Zatem

$$V=(3x+1)(3x+2)(3x+3).$$

Najpierw $(3x+1)(3x+2)=9x^2+9x+2$, a po pomnożeniu przez $3x+3$ otrzymujemy $V=27x^3+54x^2+33x+6.$

$$(2\sqrt2-5)(3-\sqrt2)=11\sqrt2-19,$$ $$(\sqrt2+2)(7+2\sqrt2)=11\sqrt2+18.$$

Ich różnica wynosi $(11\sqrt2-19)-(11\sqrt2+18)=-37$, zatem jest całkowita.

Po wykonaniu mnożenia i redukcji otrzymujemy

$$(n-3)(2n+2)+(3n-4)(2n-3)-n(2n+3) =6n^2-24n+6.$$

Jest to $6(n^2-4n+1)$. Dla $n\in\mathbb N$ wyrażenie w nawiasie jest całkowite, więc całość dzieli się przez $6$.