MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 29

Z twierdzenia Pitagorasa dla przekątnej prostopadłościanu: $4^2+5^2+a^2=13^2,$ stąd $a^2=128$ i $a=8\sqrt2$. Jest to liczba niewymierna.

Niech $x=12m$, $y=12n$, gdzie $m<n$ i $\operatorname{NWD}(m,n)=1$. Ponieważ $\operatorname{NWW}(x,y)=12mn=144$, mamy $mn=12$. Względnie pierwsze pary to $(1,12)$ i $(3,4)$.

$1,(23)+1,(32)=\frac{23}{9}$, a $(5\frac13-2,(7)):\frac12=\frac{46}{9}$, więc $a=\frac12$. Dalej $b=\frac{2^3\cdot2^{4/3}\cdot2^{-2}}{2^{4/3}}=2.$ Stąd $a^b+b^a=\frac14+\sqrt2\approx1{,}664$.