MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 14

Upraszczamy pierwiastki: $\sqrt{12}=2\sqrt3$ i $\sqrt{18}=3\sqrt2$. Wtedy

&=6+2\sqrt6-3\sqrt6-6+\sqrt6\\ &=0. \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy liczbę całkowitą.

Ponieważ $\sqrt{48}=4\sqrt3$ i $5\sqrt{12}=10\sqrt3$, prawa strona wynosi

$2\sqrt3(1-6\sqrt3)=2\sqrt3-36.$

Porównując część wymierną i współczynnik przy $\sqrt3$, dostajemy $a=-36$ i $b=2$.

Z równości pól

$\pi R^2=\pi\cdot8^2+\pi\cdot15^2$

wynika $R^2=64+225=289=17^2$. Promień jest dodatni, więc $R=17\in\mathbb N$.

Niech krawędź podstawy ma długość $a$. Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym także ma długość $a$. Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość $H$, promień $a$ i krawędź boczną $2a$:

$H=\sqrt{(2a)^2-a^2}=a\sqrt3.$

Pole podstawy wynosi $P_p=\frac{3\sqrt3}{2}a^2$, zatem

$V=\frac13P_pH=\frac13\cdot\frac{3\sqrt3}{2}a^2\cdot a\sqrt3=\frac32a^3.$

Dla całkowitego $a$ jest to liczba wymierna.