MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 130

Jeśli $M,N$ są środkami dwóch boków, to $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac12$. Odwrotność twierdzenia Talesa daje $MN\parallel BC$, a podobieństwo $\triangle AMN\sim\triangle ABC$ w skali $1:2$ daje $MN=\frac12BC$.

Trójkąt $12,16,20$ ma proporcje $3:4:5$. Dla $x=6$ boki drugiego trójkąta to $6,10,8$, czyli po uporządkowaniu $6,8,10=\frac12(12,16,20)$. Inne przyporządkowania nie spełniają wszystkich trzech proporcji.

Oba trójkąty są prostokątne, a ich kąty ostre są parami równe jako kąty utworzone przez boki prostokąta i trójkąta, więc $\triangle AEF\sim\triangle CDG$ z cechy KK. Z $AC=50$ i $DE=25$ oraz proporcji odcinków otrzymujemy skalę $3:4$.

Wysokość do przeciwprostokątnej tworzy dwa trójkąty mające po jednym kącie prostym i wspólny kąt ostry z trójkątem wyjściowym, więc wszystkie trzy są podobne. Przeciwprostokątna ma $10$, a z porównania pól $\frac12\cdot6\cdot8=\frac12\cdot10\cdot h$.