MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 125

W sześcianie wszystkie krawędzie są równe, podobnie wszystkie przekątne ścian i przekątne bryły. Z cechy BBB dostajemy na przykład $\triangle ABE\equiv\triangle BCF$, $\triangle ACG\equiv\triangle BDH$ oraz $\triangle ACH\equiv\triangle BDG$.

Trójkąt wyznaczony przez wierzchołki sześcianu może mieć tylko trzy różne zestawy długości boków (złożone z krawędzi, przekątnych ścian i przekątnych bryły).

Porządkujemy boki $a\le b\le c$, zapisujemy $a+b+c=14$ oraz warunek $a+b>c$. Możliwe trójki to $(2,6,6)$, $(3,5,6)$, $(4,4,6)$ i $(4,5,5)$.

Trzeci bok $x$ musi spełniać $5\sqrt3-4<x<5\sqrt3+4$, czyli w przybliżeniu $4{,}66<x<12{,}66$. Spośród propozycji pasuje tylko $5$.

Warunki trójkąta to $(2a+6)+(a+4)>3a+2$, $(2a+6)+(3a+2)>a+4$ oraz $(3a+2)+(a+4)>2a+6$. Ostatnia nierówność daje $a>0$ i jest najsilniejsza.