MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 122

Korzystamy kolejno z sumy kątów w trójkącie, kątów przyległych oraz kątów odpowiadających przy prostych równoległych. Po uzupełnieniu miar na rysunku otrzymujemy wartości $98^\circ$, $23^\circ$ i kąt prosty.

Niech mniejszy z podwajanych kątów ma miarę $x$. Wtedy kąty mają miary $x$, $2x$ i $2x-40^\circ$. Z równania $5x-40^\circ=180^\circ$ otrzymujemy $x=44^\circ$.

Niech $X$ będzie punktem przecięcia siecznych. Kąt przy $X$ w trójkącie $CXD$ ma $180^\circ-81{,}5^\circ=98{,}5^\circ$, więc $\angle CDX=180^\circ-98{,}5^\circ-59{,}5^\circ=22^\circ$. Gdyby $AB\parallel CD$, kąty naprzemianległe przy siecznej $AD$ miałyby po $38^\circ$, tymczasem $38^\circ\ne22^\circ$.

W trójkącie $ABD$ mamy $\angle D=90^\circ$ i $\angle BAD=20^\circ$, więc $\angle ABC=70^\circ$. Stąd w $ABC$ kąt $A$ ma $60^\circ$. Ponieważ $BE\perp AC$, w trójkącie $ABE$ otrzymujemy $\angle ABF=30^\circ$. W trójkącie $ABF$ trzeci kąt ma $130^\circ$.