MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 11

Dla trójkąta równobocznego $h=\frac{a\sqrt3}{2}=4$, więc $a=\frac{8\sqrt3}{3}$. Jego obwód wynosi $8\sqrt3$. Bok kwadratu o tym samym obwodzie ma zatem długość $2\sqrt3$, a pole kwadratu jest równe

$P=(2\sqrt3)^2=12,$

czyli jest wymierne.

Załóżmy przeciwnie, że $\sqrt7=\frac pq$, gdzie $p,q\in\mathbb Z$, $q\ne0$ i ułamek jest nieskracalny. Po podniesieniu do kwadratu mamy $p^2=7q^2$. Stąd $7\mid p^2$, a ponieważ $7$ jest pierwsza, $7\mid p$. Niech $p=7k$. Wtedy

$49k^2=7q^2,\qquad q^2=7k^2,$

więc również $7\mid q$. Liczby $p$ i $q$ mają wspólny dzielnik $7$, co przeczy nieskracalności ułamka. Zatem $\sqrt7$ jest niewymierna.

Gdyby $\sqrt{12}$ była wymierna, to również $\frac{\sqrt{12}}2=\sqrt3$ byłaby wymierna. Tymczasem standardowy dowód przez ułamek nieskracalny prowadzi dla $\sqrt3=p/q$ do $3\mid p$ i następnie $3\mid q$, czyli do sprzeczności. Zatem $\sqrt{12}$ jest niewymierna.

W podstawie prawidłowego graniastosłupa sześciokątnego krótsza przekątna sześciokąta ma długość $a\sqrt3$, a wysokość graniastosłupa wynosi $a$. Krótsza przekątna przestrzenna ma więc długość

$d=\sqrt{(a\sqrt3)^2+a^2}=\sqrt{4a^2}=2a.$

Dla całkowitego $a$ liczba $2a$ jest całkowita, a więc wymierna.