MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy — strona 10

Wymierne są: rozwinięcie okresowe $-0,(2)$, liczba $0$, $\sqrt[3]{-27}=-3$ oraz $1\frac13$. Pozostałe liczby zawierają $\pi$ albo $\sqrt2$ w sposób zachowujący niewymierność. Są zatem cztery liczby wymierne.

Porównujemy przybliżenia (wystarczą bezpieczne oszacowania $3{,}14<\pi<3{,}15$, $1{,}41<\sqrt2<1{,}42$, $1{,}73<\sqrt3<1{,}74$):

$1-\pi\approx-2{,}142,\quad \sqrt2-\sqrt3\approx-0{,}318,$ $-5+\sqrt8\approx-2{,}172,\quad -3\sqrt2+2\sqrt3\approx-0{,}779.$

Najmniejsza jest liczba z odpowiedzi C.

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i połowią się. Bok rombu jest więc przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $7$ i $8$:

$a=\sqrt{7^2+8^2}=\sqrt{113}.$

Obwód wynosi $4\sqrt{113}$. Ponieważ $113$ nie jest kwadratem liczby naturalnej, $\sqrt{113}$, a więc i obwód, są niewymierne.

Weźmy na przykład $u=2+\sqrt3$ oraz $v=3+\sqrt3$. Obie liczby są niewymierne, bo dodanie liczby całkowitej do $\sqrt3$ nie usuwa niewymierności. Jednocześnie

$v-u=(3+\sqrt3)-(2+\sqrt3)=1,$

czyli ich różnica jest wymierna.

Ponieważ $6^2=36<40<49=7^2$, po spierwiastkowaniu dodatnich liczb dostajemy $6<\sqrt{40}<7$. Stąd $n=6$.

Niech wspólna długość boku sześciokąta i przekątnej kwadratu będzie równa $a$. Pole sześciokąta foremnego wynosi

$P_6=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$

Bok kwadratu ma długość $a/\sqrt2$, więc $P_k=a^2/2$. Zatem

$P_6:P_k=\frac{3\sqrt3}{2}a^2:\frac12a^2=3\sqrt3:1.$