NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 48

Podstawiamy $t=x^2$, gdzie $t\ge0$:

$$36t^2-43t+12=0.$$

Mamy

$$\Delta=(-43)^2-4\cdot36\cdot12=121,$$ $$t_1=\frac{43-11}{72}=\frac49,\qquad t_2=\frac{43+11}{72}=\frac34.$$

Stąd

$$x=\pm\frac23\quad\text{lub}\quad x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

Dodatnie pierwiastki to $\frac23$ i $\frac{\sqrt3}{2}$.

Aby równanie było kwadratowe, musi zachodzić

$$m-1\ne0.$$

Warunkiem dwóch różnych pierwiastków jest ponadto

$$\Delta=(-3)^2-4(m-1)=13-4m>0,$$

czyli

$$m<\frac{13}{4}.$$

Największą liczbą całkowitą mniejszą od $\frac{13}{4}$ jest $3$; spełnia ona także warunek $m\ne1$.

Dla $m=\frac12$ równanie przyjmuje postać

$$\frac14x^2-x=\frac12x,$$ $$\frac14x^2-\frac32x=0,$$ $$\frac14x(x-6)=0.$$

Zatem $x=0$ lub $x=6$.

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i wyłączamy $x$:

$$\frac14x^2-(m+1)x=0,$$ $$x\left(\frac14x-(m+1)\right)=0.$$

Pierwszym rozwiązaniem jest zawsze $x=0$, a drugim

$$x=4(m+1).$$

Dla $m=-1$ oba zapisy dają tę samą wartość $x=0$, więc równanie ma jedno rozwiązanie. Dla $m\ne-1$ wartości są różne, więc są dwa rozwiązania.

Niech boki prostokąta mają długości $a$ i $b$. Z obwodu

$$2a+2b=8$$

wynika

$$a+b=4.$$

Promień okręgu opisanego na prostokącie jest równy połowie przekątnej:

$$R=\frac12\sqrt{a^2+b^2}.$$

Pole tego okręgu wynosi

$$P_O=\pi R^2=\frac{\pi}{4}(a^2+b^2).$$

Dwa półokręgi zbudowane na bokach długości $a$ i dwa na bokach długości $b$ mają łączne pole

$$P_P= 2\cdot\frac12\pi\left(\frac a2\right)^2+ 2\cdot\frac12\pi\left(\frac b2\right)^2 =\frac{\pi}{4}(a^2+b^2)=P_O.$$

Części tych półokręgów leżące wewnątrz okręgu opisanego wypełniają obszar tego okręgu poza prostokątem. Po odjęciu ich od półokręgów pozostają cztery zacieniowane księżyce. Ich łączne pole jest więc równe polu prostokąta:

$$P_K=P_P-(P_O-ab)=ab.$$

Z nierówności $(a-b)^2\ge0$ otrzymujemy

$$(a+b)^2\ge4ab,$$

a zatem

$$ab\le\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{16}{4}=4.$$

Wobec tego pole zacieniowanego obszaru nie przekracza $4\ \mathrm{cm}^2$.

Dla $m=1$ równanie przyjmuje postać $2=0$, więc nie ma rozwiązań.

Dla $m\ne1$ jest to równanie kwadratowe o wyróżniku

$$\Delta=(m-1)^2-8(m-1)=(m-1)(m-9).$$

Zatem:

• $\Delta>0$ dla $m<1$ lub $m>9$ — dwa rozwiązania;
• $\Delta=0$ dla $m=9$ — jedno rozwiązanie;
• $\Delta<0$ dla $1<m<9$ — brak rozwiązań.

Po uwzględnieniu osobnego przypadku $m=1$ otrzymujemy

$$f(m)= \begin{cases} 2,&m\in(-\infty;1)\cup(9;\infty),\\ 1,&m=9,\\ 0,&m\in[1;9). \end{cases}$$

Wprowadzamy $y=4-x$. Oba pierwiastki $x_1,x_2$ mają być mniejsze od $4$ wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im wartości $y_1,y_2$ są dodatnie.

Po podstawieniu $x=4-y$ otrzymujemy

$$y^2-(m+7)y+4(m+4)=0.$$

Aby równanie miało dwa różne dodatnie pierwiastki, potrzeba

$$\Delta>0,\qquad y_1+y_2>0,\qquad y_1y_2>0.$$

Warunki te mają postać

$$(m-5)(m+3)>0,\qquad m+7>0,\qquad 4(m+4)>0.$$

Zatem

$$m\in\bigl((-\infty;-3)\cup(5;\infty)\bigr)\cap(-7;\infty)\cap(-4;\infty),$$

czyli

$$m\in(-4;-3)\cup(5;\infty).$$

Z wzorów Viète'a:

$$x_1+x_2=3m-\frac12,\qquad x_1x_2=6.$$

Korzystamy z tożsamości

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2.$$

Warunek $|x_1-x_2|=12$ daje

$$144=\left(3m-\frac12\right)^2-24,$$ $$\left(3m-\frac12\right)^2=168,$$ $$3m-\frac12=\pm2\sqrt{42}.$$

Stąd

$$m=\frac{1-4\sqrt{42}}6 \quad\text{lub}\quad m=\frac{1+4\sqrt{42}}6.$$

Dla obu wartości wyróżnik równania wynosi $144>0$, więc pierwiastki są rzeczywiste i różne.

Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków jest równy

$$\Delta=k^2-2k=k(k-2)>0,$$

czyli

$$k<0\quad\text{lub}\quad k>2.$$

Z wzorów Viète'a

$$x_1+x_2=-k,\qquad x_1x_2=\frac k2.$$

Stąd

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=k^2-k.$$

Żądana nierówność ma postać

$$k^2-k>2,$$ $$(k-2)(k+1)>0,$$

więc

$$k<-1\quad\text{lub}\quad k>2.$$

Ten zbiór spełnia również warunek $\Delta>0$.

Funkcję $g$ zapisujemy w postaci kanonicznej:

$$g(x)=(x+3)^2-16,$$

zatem

$$W_g=[-16;\infty).$$

Dla $m=2$ funkcja $f$ jest stale równa $0$, więc jej zbiór wartości jest inny. Dla $m<2$ parabola $f$ ma ramiona skierowane w dół, także nie może mieć zbioru wartości $[-16;\infty)$. Musi więc zachodzić $m>2$.

Wtedy

$$f(x)=(m-2)\left[\left(x+\frac12\right)^2-\frac14\right],$$

a jej wartość najmniejsza wynosi

$$-\frac{m-2}{4}.$$

Zbiory wartości będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy

$$-\frac{m-2}{4}=-16.$$

Stąd

$$m-2=64,\qquad m=66.$$