NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 46

Mamy

$$f(x)=(2x-6)^2-2 =\bigl(2(x-3)\bigr)^2-2 =4(x-3)^2-2.$$

Jest to postać kanoniczna, więc wierzchołkiem paraboli jest punkt $(3,-2)$. W pierwszym zdaniu wybieramy odpowiedź A.

Punkt przecięcia z osią rzędnych ma pierwszą współrzędną równą $0$. Obliczamy

$$f(0)=(-6)^2-2=36-2=34.$$

Punktem przecięcia jest zatem $(0,34)$, czyli w drugim zdaniu wybieramy odpowiedź E.

Z wykresu odczytujemy, że odcięta wierzchołka paraboli jest równa

$$x_w=1.$$

Oś symetrii paraboli leży w połowie odległości między jej miejscami zerowymi, zatem

$$x_w=\frac{x_1+x_2}{2}.$$

Jest to uzasadnienie 3. Po podstawieniu $x_w=1$ otrzymujemy

$$1=\frac{x_1+x_2}{2},$$

czyli $x_1+x_2=2$. Wybieramy odpowiedź A.

Dla $x=0$ mamy

$$f(0)=-4\cdot\frac12\cdot\left(-\frac52\right)=5.$$

Wykres przecina zatem oś $OY$ w punkcie $(0,5)$, a nie $(0,-5)$. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

Miejscami zerowymi funkcji są

$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=\frac52.$$

Odcięta wierzchołka wynosi

$$x_w=\frac{x_1+x_2}{2} =\frac{-\frac12+\frac52}{2}=1,$$

a $f(1)=9$. Wierzchołkiem jest więc punkt $(1,9)$, nie $(-2,5)$. Drugie stwierdzenie także jest fałszywe.

Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe

$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=\frac52.$$

Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół. Funkcja jest dodatnia między miejscami zerowymi, a ujemna poza nimi. Ponieważ nierówność jest ostra, miejsc zerowych nie włączamy do rozwiązania. Otrzymujemy

$$x\in\left(-\infty;-\frac12\right) \cup\left(\frac52;\infty\right).$$

Przenosimy prawą stronę na lewą i wyłączamy wspólny czynnik:

$$3x(x+3)-(x+3)^2=0,$$ $$(x+3)\bigl(3x-(x+3)\bigr)=0,$$ $$(x+3)(2x-3)=0.$$

Stąd

$$x+3=0 \quad\text{lub}\quad 2x-3=0,$$

czyli $x=-3$ lub $x=\frac32$.