NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 45

Sprawdzamy pierwiastki kolejnych równań:

• A: $\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=-4<0$, więc brak pierwiastków rzeczywistych.
• B: $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$, więc pierwiastki to $4$ i $-1$.
• C: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, więc pierwiastki to $2$ i $3$.
• D: $x^2+5x-6=(x+6)(x-1)$, więc pierwiastki to $-6$ i $1$.

Dwa różne pierwiastki dodatnie ma wyłącznie równanie C.

Korzystamy ze wzorów Viète'a. Dla pierwiastków $x_1=-3$ i $x_2=4$:

$$x_1+x_2=1=-\frac b2,$$

stąd $b=-2$. Ponadto

$$x_1x_2=-12=\frac c2,$$

więc $c=-24$.

Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek, więc ma równanie $x=1$. Miejsca zerowe są położone symetrycznie względem tej osi.

Jeżeli pierwsze miejsce zerowe wynosi $x_1=-\frac12$, to:

$$\frac{x_1+x_2}{2}=1,$$ $$\frac{-\frac12+x_2}{2}=1,$$ $$x_2=\frac52=2\frac12.$$

Sprawdzamy liczbę z odpowiedzi A:

$$x=-\frac{1}{2\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{4}, \qquad x^2=\frac18.$$

Po podstawieniu:

$$4x^2+4x+\sqrt2-\frac12 = 4\cdot\frac18+4\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{4}\right) +\sqrt2-\frac12,$$ $$=\frac12-\sqrt2+\sqrt2-\frac12=0.$$

Liczba z odpowiedzi A jest więc pierwiastkiem równania.

Sprawdzamy wartość najmniejszą każdej funkcji na $[0;2]$.

• A: $f(x)=(x-1)^2$, więc minimum wynosi $0$.
• B: $f(x)=3(x+1)^2-4$ jest rosnąca na $[0;2]$, więc minimum to $f(0)=-1$.
• C: parabola ma ramiona skierowane w dół, więc minimum na przedziale jest osiągane na jednym z jego końców:

$$f(0)=1,\qquad f(2)=3.$$

Minimum wynosi $1>0$.

• D: również jest to parabola skierowana w dół, lecz

$$f(0)=1,\qquad f(2)=-3,$$

więc minimum nie jest dodatnie.

Warunek spełnia wyłącznie funkcja C.

Zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej:

$$f(x)=2x^2+4x=2(x+1)^2-2.$$

Wierzchołek ma pierwszą współrzędną $-1$, więc na przedziale $[1;2]$ funkcja jest rosnąca. Największą wartość osiąga dla $x=2$:

$$f(2)=2\cdot2^2+4\cdot2=8+8=16.$$

Niech krótszy bok działki ma długość $x$ m. Dłuższy bok ma wtedy długość $(x+2)$ m, gdzie $x>0$.

$$x(x+2)=288,$$ $$x^2+2x-288=0,$$ $$(x-16)(x+18)=0.$$

Dodatnim rozwiązaniem jest $x=16$, więc boki działki mają długości $16$ m i $18$ m. Jej obwód wynosi:

$$2(16+18)=68\ \text{m}.$$

Boki prostokąta $P_2$ mają długości $(4+x)$ cm i $(8+x)$ cm. Ponieważ $x>0$:

$$(4+x)(8+x)=96,$$ $$x^2+12x-64=0,$$ $$(x-4)(x+16)=0.$$

Dopuszczalne jest $x=4$. Prostokąt $P_2$ ma więc wymiary $8$ cm i $12$ cm. Z twierdzenia Pitagorasa jego przekątna ma długość:

$$d=\sqrt{8^2+12^2} =\sqrt{208} =4\sqrt{13}\ \text{cm}.$$