NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 42

W każdym podpunkcie wprowadzamy pomocniczą niewiadomą.

a) Niech $t=x^2-2x$. Wtedy

$$t^2+5t+4=0,$$

czyli $(t+1)(t+4)=0$. Dla $t=-1$ mamy

$$x^2-2x+1=0 \iff (x-1)^2=0,$$

więc $x=1$. Dla $t=-4$ równanie $x^2-2x+4=0$ ma wyróżnik $-12$, zatem nie ma rozwiązań rzeczywistych.

b) Niech $t=x^2+4x$. Otrzymujemy

$$t^2+7t+12=0 \iff (t+3)(t+4)=0.$$

Dla $t=-3$ równanie $x^2+4x+3=0$ daje $x=-3$ lub $x=-1$, a dla $t=-4$ mamy $(x+2)^2=0$, więc $x=-2$.

c) Niech $t=x^2-5x$. Wówczas

$$t(t+2)=24 \iff t^2+2t-24=0 \iff (t-4)(t+6)=0.$$

Dla $t=4$:

$$x^2-5x-4=0,$$

stąd $x=\frac{5-\sqrt{41}}2$ lub $x=\frac{5+\sqrt{41}}2$. Dla $t=-6$:

$$x^2-5x+6=0,$$

stąd $x=2$ lub $x=3$.

d) Niech $t=x^2+2x$. Wtedy

$$t(t-1)=2 \iff t^2-t-2=0 \iff (t-2)(t+1)=0.$$

Dla $t=2$ równanie $x^2+2x-2=0$ daje $x=-1-\sqrt3$ lub $x=-1+\sqrt3$. Dla $t=-1$ mamy $(x+1)^2=0$, więc $x=-1$.

a) Pierwiastek jest określony, gdy

$$7x-x^2-12=(x-3)(4-x)\geqslant0,$$

czyli $x\in[3;4]$. Iloczyn może być równy zeru, gdy czynnik pod pierwiastkiem jest zerem albo $x^2-1=0$. Pierwszy warunek daje $x=3$ lub $x=4$. Z drugiego otrzymujemy $x=-1$ lub $x=1$, ale obie liczby leżą poza dziedziną.

b) Dziedzina spełnia warunek

$$x^2-4x=x(x-4)\geqslant0,$$

zatem $x\in(-\infty;0]\cup[4;\infty)$. Dalej

$$x^2+2x-15=(x+5)(x-3),$$

więc kandydatami są $-5$ i $3$, a z warunku $\sqrt{x^2-4x}=0$ także $0$ i $4$. Liczba $3$ nie należy do dziedziny; pozostałe trzy liczby spełniają równanie.

Korzystamy ze wzorów Viète’a. Jeśli $S=x_1+x_2$ i $P=x_1x_2$, to

$$x_1^2+x_2^2-8x_1x_2=S^2-10P.$$

a) Wyróżnik równania wynosi

$$\Delta=(-12)^2-4\cdot15\cdot(-20)=1344>0,$$

więc równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Ponadto

$$S=\frac{12}{15}=\frac45,\qquad P=\frac{-20}{15}=-\frac43.$$

Zatem

$$S^2-10P=\frac{16}{25}+\frac{40}{3} =\frac{1048}{75}.$$

b) Mamy

$$\Delta=(\sqrt2-1)^2+4(\sqrt2+1)=7+2\sqrt2>0,$$

więc także to równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Ze wzorów Viète’a

$$S=-\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=2\sqrt2-3, \qquad P=-\frac1{\sqrt2+1}=1-\sqrt2.$$

Wobec tego

$$S^2-10P=(2\sqrt2-3)^2-10(1-\sqrt2) =7-2\sqrt2.$$

a) Zapiszmy

$$f(x)=A(x^2-Sx+P),$$

gdzie $S$ i $P$ oznaczają odpowiednio sumę i iloczyn miejsc zerowych. Mamy $S=\frac83$, a ponadto

$$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{S}{P}=4,$$

więc $P=\frac23$. Ponieważ $f(0)=-2$, zachodzi

$$A\cdot\frac23=-2,$$

stąd $A=-3$. Zatem

$$f(x)=-3\left(x^2-\frac83x+\frac23\right) =-3x^2+8x-2.$$

b) Z warunku o wierzchołku

$$f(x)=a(x-5)^2+2,\qquad a\ne0.$$

Po rozwinięciu wyraz wolny wynosi $25a+2$, więc ze wzorów Viète’a iloczyn miejsc zerowych jest równy

$$\frac{25a+2}{a}=24.$$

Stąd $25+\frac2a=24$, czyli $a=-2$. Ostatecznie

$$f(x)=-2(x-5)^2+2=-2x^2+20x-48.$$

Dla równania kwadratowego $Ax^2+Bx+C=0$ dwa pierwiastki mają różne znaki wtedy i tylko wtedy, gdy $A\ne0$ oraz

$$x_1x_2=\frac CA<0.$$

Warunek ten automatycznie daje $\Delta>0$.

a) $A=1$ i $\frac CA=m$, zatem $m<0$.

b) $\frac CA=\frac1{1/4}=4>0$, więc nie istnieje odpowiednia wartość $m$.

c) Równanie jest kwadratowe dla $m\ne0$, a wtedy

$$\frac CA=\frac{m^3-4m}{m/4}=4(m^2-4).$$

Iloczyn jest ujemny dla $-2<m<2$. Po wykluczeniu $m=0$ otrzymujemy

$$m\in(-2;0)\cup(0;2).$$

d) Równanie jest kwadratowe dla $m\ne\frac23$. Dla takich $m$

$$\frac CA=\frac{1-\frac32m}{3m-2} =\frac{-\frac12(3m-2)}{3m-2} =-\frac12<0.$$

Dla $m=\frac23$ równanie jest liniowe, więc tę wartość odrzucamy.

Dwa różne pierwiastki są dodatnie, gdy $\Delta>0$, ich suma jest dodatnia, a iloczyn dodatni. Dwa różne pierwiastki są ujemne, gdy $\Delta>0$, suma jest ujemna, a iloczyn dodatni.

a) Dla równania $2x^2-mx+m+2=0$ ze wzorów Viète’a

$$S=\frac m2,\qquad P=\frac{m+2}{2}.$$

Warunki $S>0$ i $P>0$ sprowadzają się do $m>0$. Ponadto

$$\Delta=m^2-8m-16>0.$$

Pierwiastkami trójmianu względem $m$ są $4-4\sqrt2$ i $4+4\sqrt2$, zatem po przecięciu z $m>0$ otrzymujemy

$$m>4+4\sqrt2.$$

b) Dla równania $-x^2+(2m-2)x+m^2-2m=0$ mamy

$$S=2m-2,\qquad P=m(2-m).$$

Warunki $S<0$ i $P>0$ dają $0<m<1$. Wyróżnik wynosi

$$\Delta=4(2m^2-4m+1).$$

Warunek $\Delta>0$ jest równoważny

$$m<1-\frac{\sqrt2}{2} \quad\text{lub}\quad m>1+\frac{\sqrt2}{2}.$$

Po przecięciu z $(0;1)$ dostajemy

$$0<m<1-\frac{\sqrt2}{2}.$$

a) Dla $m<0$ trójmian ma ramiona skierowane w dół i jest niedodatni dla każdego $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta\leqslant0$. Dla $m=0$ powstaje nierówność liniowa $4x-1\leqslant0$, która nie zachodzi dla wszystkich $x$. Liczymy

$$\Delta=16-4m(m-1)\leqslant0 \iff m^2-m-4\geqslant0.$$

Stąd

$$m\leqslant\frac{1-\sqrt{17}}2 \quad\text{lub}\quad m\geqslant\frac{1+\sqrt{17}}2.$$

Po uwzględnieniu $m<0$ zostaje pierwszy przedział.

b) Gdy $m>3$, współczynnik przy $x^2$ jest dodatni. Wyróżnik wynosi

$$\Delta=(3-m)^2-4(m-3)m=-3(m-3)(m+1),$$

więc dla $m>3$ jest ujemny i trójmian jest dodatni dla każdego $x$. Dla $m=3$ nierówność ma postać $3>0$, zatem również jest zawsze spełniona. Dla $m<3$ ramiona paraboli są skierowane w dół, więc nierówność nie może zachodzić dla wszystkich $x$.

a) Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc zbiorem wartości jest przedział od wartości najmniejszej do nieskończoności. Wartość najmniejsza wynosi

$$-m-\frac{(2m+2)^2}{4} =-m^2-3m-1.$$

Ma być równa $1$, zatem

$$-m^2-3m-1=1 \iff m^2+3m+2=0 \iff (m+1)(m+2)=0.$$

Stąd $m=-1$ lub $m=-2$.

b) Aby zbiorem wartości był przedział $[1;\infty)$, musi zachodzić $m+1>0$. Wtedy wartość najmniejsza funkcji jest równa

$$m+3-\frac{(m+1)^2}{4(m+1)} =m+3-\frac{m+1}{4} =\frac{3m+11}{4}.$$

Warunek $\frac{3m+11}{4}=1$ daje $m=-\frac73$, ale ta wartość nie spełnia $m+1>0$. Dla $m=-1$ funkcja jest stała i ma zbiór wartości $\{2\}$, a dla $m<-1$ parabola ma ramiona skierowane w dół. Nie ma więc odpowiedniej wartości parametru.

a) Jedno rozwiązanie występuje wtedy i tylko wtedy, gdy

$$\Delta=k^2-4m=0,$$

czyli

$$m=\frac{k^2}{4}.$$

Podwójny pierwiastek ma wartość $x_0=-\frac k2$. Warunek $|x_0|\leqslant2$ daje

$$\left|-\frac k2\right|\leqslant2 \iff |k|\leqslant4.$$

Szukanym zbiorem jest zatem część paraboli $m=\frac{k^2}{4}$ dla $k\in[-4;4]$, wraz z końcami.

b) Ze wzorów Viète’a

$$x_1+x_2=-k,\qquad x_1x_2=m.$$

Stąd

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=k^2-2m.$$

Warunek z treści prowadzi do

$$k^2-2m=4 \iff m=\frac{k^2}{2}-2.$$

Równanie ma dwa różne rozwiązania, gdy

$$\Delta=k^2-4m =k^2-4\left(\frac{k^2}{2}-2\right) =8-k^2>0,$$

czyli $|k|<2\sqrt2$. Szukanym zbiorem jest część paraboli $m=\frac{k^2}{2}-2$ dla $k\in(-2\sqrt2;2\sqrt2)$, bez punktów końcowych.