NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 41

Funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik jest równy zeru.

a)

$$\Delta=3^2-4c=9-4c.$$

Warunek $\Delta=0$ daje $c=\frac94$.

b)

$$\Delta=(-2\sqrt5)^2-4\cdot1\cdot(-c)=20+4c.$$

Stąd $\Delta=0$ dla $c=-5$.

c)

$$\Delta=1^2-4\cdot(-1)(c+1)=4c+5.$$

Zatem $c=-\frac54$.

d)

$$\Delta=c^2-4c=c(c-4).$$

Warunek $\Delta=0$ zachodzi dla $c=0$ lub $c=4$.

Funkcja kwadratowa ma dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta>0$.

a)

$$\Delta=b^2-16>0 \iff b^2>16 \iff b<-4\ \text{lub}\ b>4.$$

b)

$$\Delta=(2b)^2-4\cdot(-1)\cdot(-1) =4b^2-4>0.$$

Zatem

$$b^2>1 \iff b<-1\ \text{lub}\ b>1.$$

Jeśli liczba $x$ jest wspólnym miejscem zerowym funkcji $f$ i $g$, to różnica $f(x)-g(x)$ także jest równa zeru.

a)

$$f(x)-g(x)=2x^2-6.$$

Zatem wspólne miejsce zerowe musi spełniać

$$2x^2-6=0 \iff x^2=3,$$

czyli $x=-\sqrt3$ lub $x=\sqrt3$. Obie liczby rzeczywiście zerują każdą z funkcji, ponieważ dla $x^2=3$ mamy

$$f(x)=9-21+12=0,\qquad g(x)=9-27+18=0.$$

b)

$$f(x)-g(x)=6x^2-3.$$

Stąd

$$6x^2-3=0 \iff x^2=\frac12,$$

więc $x=-\frac{\sqrt2}{2}$ lub $x=\frac{\sqrt2}{2}$. Dla $x^2=\frac12$ zachodzi

$$f(x)=\frac32-\frac52+1=0,\qquad g(x)=\frac32-\frac{11}{2}+4=0,$$

zatem oba otrzymane miejsca zerowe są wspólne.

a) Z warunku $a+b=4$ mamy $b=4-a$. Zatem

$$a^2+b^2=a^2+(4-a)^2 =2(a-2)^2+8.$$

Najmniejsza wartość występuje dla $a=2$, a wtedy $b=2$.

b) Z warunku $a-b=3$ wynika $b=a-3$. Wobec tego

$$a^2+b^2=a^2+(a-3)^2 =2\left(a-\frac32\right)^2+\frac92.$$

Minimum otrzymujemy dla $a=\frac32$, a wtedy $b=-\frac32$.

c) Z warunku $2a+b=1$ mamy $b=1-2a$. Stąd

$$a^2+b^2=a^2+(1-2a)^2 =5\left(a-\frac25\right)^2+\frac15.$$

Najmniejsza wartość występuje dla $a=\frac25$, a wtedy $b=\frac15$.

Oznaczmy długości boków placu przez $a$ i $b$. Ponieważ na jednym boku pozostaje nieogrodzony odcinek długości $10$ m, długość użytej siatki spełnia równanie

$$2a+2b-10=240.$$

Stąd

$$a+b=125,\qquad b=125-a.$$

Pole placu jest więc równe

$$P(a)=a(125-a) =-\left(a-62{,}5\right)^2+62{,}5^2.$$

Jest ono największe dla $a=62{,}5$, a wtedy także $b=62{,}5$.

Początkowy dzienny zysk wynosi

$$40\cdot240=9600\ \text{zł}.$$

a) Po obniżeniu ceny o $x$ zł zysk na sztuce wynosi $240-x$ zł, a liczba sprzedanych sztuk jest równa $40+x$. Dzienny zysk ma więc postać

$$Z_A(x)=(40+x)(240-x) =-x^2+200x+9600 =-(x-100)^2+19600.$$

Największy zysk otrzymujemy dla $x=100$. Wynosi on $19600$ zł, czyli jest większy od początkowego o

$$19600-9600=10000\ \text{zł}.$$

b) Po podniesieniu ceny o $20x$ zł zysk na sztuce wynosi $240+20x$ zł, a sprzedaż spada do $40-x$ sztuk. Zatem

$$Z_B(x)=(40-x)(240+20x) =-20x^2+560x+9600 =-20(x-14)^2+13520.$$

Największy zysk jest osiągany dla $x=14$. Cenę należy więc podnieść o

$$20\cdot14=280\ \text{zł}.$$

Maksymalny zysk wynosi $13520$ zł, czyli zwiększa się o

$$13520-9600=3920\ \text{zł}.$$

Po dodaniu ramy o szerokości $x$ wymiary całego prostokąta wynoszą $(p+2x)$ dm i $(q+2x)$ dm. Szerokość ramy jest dodatnia, więc $x>0$, a równanie pola ma postać

$$(p+2x)(q+2x)=P.$$

a) Dla $p=3$, $q=5$ i $P=29{,}25$ otrzymujemy

$$(3+2x)(5+2x)=29{,}25,$$

czyli

$$4x^2+16x-14{,}25=0.$$

Wyróżnik jest równy $484$, zatem

$$x=\frac{-16\pm22}{8}.$$

Pierwiastki to $\frac34$ oraz $-\frac{19}{4}$. Ujemną wartość odrzucamy, więc $x=0{,}75$ dm.

b) Dla $p=4$, $q=6$ i $P=35$ mamy

$$(4+2x)(6+2x)=35,$$

stąd

$$4x^2+20x-11=0.$$

Wyróżnik wynosi $576$, więc

$$x=\frac{-20\pm24}{8}.$$

Otrzymujemy $\frac12$ lub $-\frac{11}{2}$. Po uwzględnieniu $x>0$ zostaje $x=0{,}5$ dm.