NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 32

Jeśli suma liczb wynosi $S$, zapisujemy je jako $x$ i $S-x$. Ich iloczyn

$$P(x)=x(S-x)=-\left(x-\frac S2\right)^2+\frac{S^2}{4}$$

jest największy dla równych liczb $x=\frac S2$.

a) Dla $S=38$ liczby to $19$ i $19$, a iloczyn wynosi $361$.
b) Dla $S=\frac12$ liczby to $\frac14$ i $\frac14$, a iloczyn $\frac1{16}$.
c) Dla $S=\sqrt2$ liczby to $\frac{\sqrt2}{2}$ i $\frac{\sqrt2}{2}$, a iloczyn $\frac12$.

Z warunku $p+2q=36$ mamy $p=36-2q$. Iloczyn jest równy

$$P(q)=pq=(36-2q)q=-2(q-9)^2+162.$$

Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc maksimum wynosi $162$ i jest osiągane dla $q=9$, $p=18$.