NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 292 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

\sqrt{16^5}=(2^4)^{\frac52}=2^{10}=1024.

b)

\sqrt[3]{27^2}=(3^3)^{\frac23}=3^2=9.

c)

\sqrt[5]{32^4}=(2^5)^{\frac45}=2^4=16.

d)

\left(\sqrt[6]{125}\right)^2 =(5^3)^{\frac26}=5.

Odpowiedź

a) $1024$ ; b) $9$ ; c) $16$ ; d) $5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dodajemy wykładniki potęg o tej samej podstawie.

a)

7^{\frac13+\frac12}=7^{\frac56}.

b)

3^{\frac52+\frac34}=3^{\frac{13}{4}}.

c)

\left(\frac23\right)^{\frac12-\frac13} =\left(\frac23\right)^{\frac16}.

d)

5^{-1}\cdot5^{-\frac23}=5^{-\frac53}.

e)

3^{\frac23-\frac43}\cdot(3^2)^2 =3^{-\frac23+4}=3^{\frac{10}{3}}.

f)

(5^2)^{-\frac12}\cdot5^{-2} =5^{-1-2}=5^{-3}.

Odpowiedź

a) $7^{\frac56}$ ; b) $3^{\frac{13}{4}}$ ;
c) $\left(\frac23\right)^{\frac16}$ ; d) $5^{-\frac53}$ ;
e) $3^{\frac{10}{3}}$ ; f) $5^{-3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

16^{\frac13}\cdot16^{\frac16} =16^{\frac12}=4.

b)

\left(\frac{3}{20}\cdot\frac{5}{12}\right)^{\frac14} =\left(\frac1{16}\right)^{\frac14}=\frac12.

c)

3^{\frac32}:\sqrt3 =3^{\frac32-\frac12}=3.

d)

\frac{25\sqrt5}{5^{\frac32}} =5^{2+\frac12-\frac32}=5.

e) Ponieważ $0{,}36=\left(\frac35\right)^2$ , mamy

15^{\frac12}\cdot0{,}36^{\frac14} =15^{\frac12}\left(\frac35\right)^{\frac12} =\sqrt9=3.

f)

20^{\frac13}\cdot2{,}5^{-\frac13} =\left(20\cdot\frac25\right)^{\frac13} =8^{\frac13}=2.

g)

6^{\frac23+\frac32-\frac16} =6^{\frac{4+9-1}{6}}=6^2=36.

h)

7:\left(7^{\frac13}\cdot7^{\frac12}\right) =7^{1-\frac13-\frac12}=7^{\frac16}=\sqrt[6]{7}.

Odpowiedź

a) $4$ ; b) $\frac12$ ; c) $3$ ; d) $5$ ;
e) $3$ ; f) $2$ ; g) $36$ ; h) $\sqrt[6]{7}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z zależności $\sqrt[n]{5^m}=5^{\frac mn}$ .

a) $\sqrt5=5^{\frac12}$ .
b) $\sqrt[3]{5}=5^{\frac13}$ .
c) $\sqrt{125}=\sqrt{5^3}=5^{\frac32}$ .
d) $\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5^2}=5^{\frac23}$ .
e) $\sqrt[4]{125}=\sqrt[4]{5^3}=5^{\frac34}$ .

Odpowiedź

a) $5^{\frac12}$ ; b) $5^{\frac13}$ ; c) $5^{\frac32}$ ;
d) $5^{\frac23}$ ; e) $5^{\frac34}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $\sqrt[4]{3}=3^{\frac14}$ .
b) $\sqrt[3]{3^4}=3^{\frac43}$ .
c) $\dfrac1{\sqrt[5]{3}}=3^{-\frac15}$ .
d) $\dfrac1{\sqrt{3^3}}=3^{-\frac32}$ .
e)

3\cdot\sqrt[4]{3}=3^1\cdot3^{\frac14}=3^{\frac54}.

Odpowiedź

a) $3^{\frac14}$ ; b) $3^{\frac43}$ ; c) $3^{-\frac15}$ ;
d) $3^{-\frac32}$ ; e) $3^{\frac54}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

\sqrt[4]{5^{\frac12}}=5^{\frac12\cdot\frac14}=5^{\frac18}.

b)

(\sqrt5)^3=(5^{\frac12})^3=5^{\frac32}.

c)

3^{\frac13}:3^{\frac14}=3^{\frac1{12}}.

d)

3^{\frac13}\cdot3^{\frac12}=3^{\frac56}.

e)

2:(2^3)^{\frac23}=2^{1-2}=2^{-1}.

f)

2^{\frac12}\cdot(2^2)^{\frac32}:(2^3)^{\frac23} =2^{\frac12+3-2}=2^{\frac32}.

g)

3^{\frac18}\cdot(3\cdot2^2)^{\frac34}:2^{\frac32} =3^{\frac18+\frac34}=3^{\frac78}.

h)

3^{\frac12}\cdot(3^2)^{\frac13}\cdot3^{\frac12} =3^{\frac12+\frac23+\frac12}=3^{\frac53}.

Odpowiedź

a) $5^{\frac18}$ ; b) $5^{\frac32}$ ; c) $3^{\frac1{12}}$ ;
d) $3^{\frac56}$ ; e) $2^{-1}$ ; f) $2^{\frac32}$ ;
g) $3^{\frac78}$ ; h) $3^{\frac53}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

12 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $(3^2)^{\frac52}=3^5=243$ .
b) $(5^3)^{\frac43}=5^4=625$ .
c) $(2^4)^{\frac34}=2^3=8$ .
d) $(2^3)^{-\frac23}=2^{-2}=\frac14$ .
e) $(3^3)^{-\frac43}=3^{-4}=\frac1{81}$ .
f) $(5^2)^{-\frac12}=5^{-1}=\frac15$ .
g) $(10^4)^{\frac54}=10^5=100\,000$ .
h) $(3^4)^{-\frac38}=3^{-\frac32}=\frac{\sqrt3}{9}$ .
i) $144^{-\frac12}=\frac1{\sqrt{144}}=\frac1{12}$ .
j) $3^3\cdot(3^3)^{-\frac43}=3^{3-4}=\frac13$ .
k) $2^2\cdot(2^3)^{\frac23}=2^4=16$ .
l) $5^3\cdot(5^3)^{-\frac13}=5^2=25$ .

Odpowiedź

a) $243$ ; b) $625$ ; c) $8$ ; d) $\frac14$ ;
e) $\frac1{81}$ ; f) $\frac15$ ; g) $100\,000$ ;
h) $\frac{\sqrt3}{9}$ ; i) $\frac1{12}$ ; j) $\frac13$ ;
k) $16$ ; l) $25$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $0{,}09^{\frac32}=(0{,}3)^3=0{,}027$ .
b) $0{,}25^{-\frac12}=(0{,}5)^{-1}=2$ .
c) $0{,}008^{\frac23}=(0{,}2)^2=0{,}04$ .
d) Ponieważ $0{,}0081=(0{,}3)^4$ ,

0{,}0081^{-\frac34}=(0{,}3)^{-3}=\frac{1000}{27}.

e) $0{,}0625^{-\frac34}=(2^{-4})^{-\frac34}=2^3=8$ .
f) $0{,}00032^{\frac45}=(5^{-5})^{\frac45}=5^{-4}=0{,}0016$ .
g) $\sqrt[3]{0{,}008}\cdot\sqrt[3]{125}=0{,}2\cdot5=1$ .
h) Ponieważ $0{,}0256=(0{,}4)^4$ ,

0{,}0256^{\frac34}\cdot(10^{\frac13})^9 =(0{,}4)^3\cdot10^3=64.

Odpowiedź

a) $0{,}027$ ; b) $2$ ; c) $0{,}04$ ;
d) $\frac{1000}{27}$ ; e) $8$ ; f) $0{,}0016$ ;
g) $1$ ; h) $64$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

3^4\left(3^4\cdot3^{-12}\right)^{-1} =3^4\cdot3^8=3^{12}.

b)

(5^3)^3\cdot(5^{-1})^{-7}=5^{9+7}=5^{16}.

c)

10^{-2}\cdot2^4\cdot5^4 =2^{-2}5^{-2}\cdot2^4 5^4=10^2.

d)

2^4\cdot3^4\cdot(2^2 3^2)^{-5} =2^{-6}3^{-6}=6^{-6}.

e)

2^{-10}:\left(2^{18}\cdot2^3\right)=2^{-31}.

f) Wszystkie czynniki zapisujemy przy podstawie $\frac32$ :

\left(\frac32\right)^3 \cdot\left(\frac32\right)^{-9} \cdot\left(\frac32\right)^6 =\left(\frac32\right)^0=1.

Odpowiedź

a) $3^{12}$ ; b) $5^{16}$ ; c) $10^2$ ;
d) $6^{-6}$ ; e) $2^{-31}$ ; f) $1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem