NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 290

Każda kolejna potęga powstaje przez pomnożenie poprzedniej przez podstawę.

a)

$$\begin{array}{c|rrrrrrrrrrr} n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline 2^n&1&2&4&8&16&32&64&128&256&512&1024 \end{array}$$

b)

$$\begin{array}{c|rrrrrrr} n&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline 3^n&1&3&9&27&81&243&729 \end{array}$$

Potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym jest dodatnia, a o wykładniku nieparzystym — ujemna. Ponadto każda niezerowa liczba do potęgi zerowej jest równa $1$.

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&(-3)^4=81,\\ \text{b)}\quad&(-2)^5=-32,\\ \text{c)}\quad&(-6)^3=-216,\\ \text{d)}\quad&(-5)^0=1. \end{aligned}$$

Korzystamy z zależności $a^{-n}=\frac1{a^n}$:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&4^{-2}=\frac1{4^2}=\frac1{16},& \text{b)}\quad&5^{-4}=\frac1{625},\\ \text{c)}\quad&6^{-3}=\frac1{216},& \text{d)}\quad&9^{-3}=\frac1{729},\\ \text{e)}\quad&(-4)^{-1}=-\frac14,& \text{f)}\quad&(-5)^{-2}=\frac1{25},\\ \text{g)}\quad&(-2)^{-4}=\frac1{16},& \text{h)}\quad&(-3)^{-5}=-\frac1{243}. \end{aligned}$$

Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i przy wykładniku ujemnym odwracamy podstawę:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&\left(\frac14\right)^3=\frac1{64},& \text{b)}\quad&\left(\frac23\right)^4=\frac{16}{81},\\ \text{c)}\quad&\left(\frac32\right)^6=\frac{729}{64},& \text{d)}\quad&\left(\frac{13}{7}\right)^0=1,\\ \text{e)}\quad&\left(\frac59\right)^{-1}=\frac95,& \text{f)}\quad&\left(\frac23\right)^{-3}=\left(\frac32\right)^3=\frac{27}{8},\\ \text{g)}\quad&\left(\frac54\right)^{-3}=\left(\frac45\right)^3=\frac{64}{125},& \text{h)}\quad&\left(\frac{10}{3}\right)^{-4}=\left(\frac3{10}\right)^4=\frac{81}{10000}. \end{aligned}$$

a) $x=2^{10}=1024>0$, natomiast $y=(-2)^{11}=-2048<0$, więc $x>y$.

b) $x=5^4=625$, a $y=(-5)^6=5^6=15625$, zatem $y>x$.

c) $x=(-3)^4=81$, a $y=(-4)^4=256$, więc $y>x$.

d) $x=(-5)^3=-125$, a $y=(-7)^3=-343$. Ponieważ $-125>-343$, mamy $x>y$.

Sprowadzamy wszystkie czynniki do podstawy $2$ i dodajemy albo odejmujemy wykładniki:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&2^4\cdot2^6=2^{10},\\ \text{b)}\quad&4^2\cdot2^4=2^4\cdot2^4=2^8,\\ \text{c)}\quad&2^7:2^3=2^4,\\ \text{d)}\quad&(2^3\cdot2^4):2^0=2^7,\\ \text{e)}\quad&2^{-3}\cdot2^5=2^2,\\ \text{f)}\quad&2\cdot2^4\cdot2^5=2^{1+4+5}=2^{10},\\ \text{g)}\quad&2^{-4}:2^{-6}=2^{-4-(-6)}=2^2,\\ \text{h)}\quad&(2^2)^3\cdot2=2^6\cdot2=2^7,\\ \text{i)}\quad&2\cdot2^{15}:2^3=2^{1+15-3}=2^{13}. \end{aligned}$$

Korzystamy z równości $4=2^2$, $8=2^3$, $16=2^4$, $32=2^5$ i $64=2^6$:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&2^4\cdot4^3\cdot2^{-1} =2^{4+6-1}=2^9,\\ \text{b)}\quad&4^3\cdot2^4:8^{-4} =2^{6+4-(-12)}=2^{22},\\ \text{c)}\quad&(16^{-2}:2^{-3})\cdot4 =2^{-8-(-3)+2}=2^{-3},\\ \text{d)}\quad&(4^3)^{-2}:64^{-3} =2^{-12-(-18)}=2^6,\\ \text{e)}\quad&32^{-3}\cdot(2^{-3})^{-5} =2^{-15}\cdot2^{15}=2^0,\\ \text{f)}\quad&(8^{-6}:4^{-6})^{-1} =(2^{-18}:2^{-12})^{-1}=(2^{-6})^{-1}=2^6. \end{aligned}$$