NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 264

Z przykładu poprzedzającego zadanie mamy

$$\sin54^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$

Korzystając z zależności dla kątów dopełniających, otrzymujemy od razu

$$\cos36^\circ=\sin54^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$

Ponieważ wszystkie rozważane kąty są ostre,

$$\sin36^\circ =\sqrt{1-\cos^2 36^\circ} =\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}.$$

Ze wzorów połowy kąta:

$$\sin18^\circ =\sqrt{\frac{1-\cos36^\circ}{2}} =\frac{\sqrt5-1}{4},$$ $$\cos18^\circ =\sqrt{\frac{1+\cos36^\circ}{2}} =\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}.$$

Pozostałe sinusy i cosinusy wynikają z równości

$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha, \qquad \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha.$$

Dzieląc odpowiednie sinusy przez cosinusy i upraszczając dodatnie pierwiastki, dostajemy

$$\operatorname{tg}18^\circ=\sqrt{\frac{5-2\sqrt5}{5}}, \qquad \operatorname{tg}36^\circ=\sqrt{5-2\sqrt5},$$ $$\operatorname{tg}54^\circ=\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{5}}, \qquad \operatorname{tg}72^\circ=\sqrt{5+2\sqrt5}.$$