NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 262

Kąt wewnętrzny foremnego $n$-kąta ma miarę

$$\alpha_n=\frac{n-2}{n}\cdot180^\circ.$$

a) Dla $n=8$:

$$\alpha_8=\frac68\cdot180^\circ=135^\circ.$$

b) Dla $n=10$:

$$\alpha_{10}=\frac8{10}\cdot180^\circ=144^\circ.$$

Suma miar kątów wewnętrznych $n$-kąta wynosi

$$S=(n-2)\cdot180^\circ.$$

Stąd

$$n=\frac{S}{180^\circ}+2.$$

Podstawiamy kolejno podane sumy:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad n&=\frac{720^\circ}{180^\circ}+2=6,\\ \text{b)}\quad n&=\frac{900^\circ}{180^\circ}+2=7,\\ \text{c)}\quad n&=\frac{1260^\circ}{180^\circ}+2=9,\\ \text{d)}\quad n&=\frac{1440^\circ}{180^\circ}+2=10,\\ \text{e)}\quad n&=\frac{1620^\circ}{180^\circ}+2=11. \end{aligned}$$

a) Kwadrat

Promień okręgu opisanego jest połową przekątnej kwadratu:

$$R=\frac{a\sqrt2}{2}.$$

Promień okręgu wpisanego jest połową boku:

$$r=\frac a2.$$

Różnica pól kół wynosi

$$\pi R^2-\pi r^2 =\pi\left(\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right) =\frac{\pi a^2}{4}.$$

b) Sześciokąt foremny

Dla sześciokąta foremnego

$$R=a,\qquad r=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Zatem

$$\pi R^2-\pi r^2 =\pi\left(a^2-\frac{3a^2}{4}\right) =\frac{\pi a^2}{4}.$$

Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ jest sumą pól sześciu trójkątów równobocznych:

$$P=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4} =\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$

Promień okręgu opisanego na takim sześciokącie jest równy długości boku: $R=a$.

a) Z warunku na pole:

$$\frac{3\sqrt3}{2}a^2=150\sqrt3.$$

Po skróceniu przez $\sqrt3$ otrzymujemy $a^2=100$, zatem $a=10$. Stąd $R=10$, a długość okręgu wynosi

$$L=2\pi R=20\pi.$$

b) Pole koła jest równe $32\pi$, więc

$$\pi R^2=32\pi,$$

skąd

$$R=4\sqrt2.$$

Zatem $a=R=4\sqrt2$, a pole sześciokąta wynosi

$$P=\frac{3\sqrt3}{2}(4\sqrt2)^2 =\frac{3\sqrt3}{2}\cdot32 =48\sqrt3.$$

a) Bok sześciokąta o obwodzie $54$ cm ma długość

$$a=\frac{54}{6}=9\ \text{cm}.$$

Promień okręgu wpisanego wynosi

$$r=\frac{a\sqrt3}{2} =\frac{9\sqrt3}{2}\ \text{cm}.$$

Pole koła jest zatem równe

$$P=\pi r^2 =\pi\left(\frac{9\sqrt3}{2}\right)^2 =\frac{243\pi}{4}\ \text{cm}^2.$$

b) Z długości okręgu:

$$2\pi r=12\pi,$$

więc $r=6$ cm. Sześciokąt jest opisany na tym okręgu, zatem

$$6=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Stąd

$$a=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\ \text{cm}.$$

Krótsza przekątna sześciokąta łączy wierzchołki oddalone o jeden wierzchołek i ma długość $a\sqrt3$, natomiast dłuższa łączy wierzchołki przeciwległe i ma długość $2a$. Otrzymujemy

$$d_1=a\sqrt3=4\sqrt3\cdot\sqrt3=12\ \text{cm},$$ $$d_2=2a=8\sqrt3\ \text{cm}.$$

Połączmy środek wpisanego okręgu ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta. Wielokąt zostaje podzielony na $n$ trójkątów.

Każdy z nich ma podstawę długości $a$. Wysokość opuszczona ze środka okręgu na bok wielokąta jest promieniem poprowadzonym do punktu styczności, ma więc długość $r$. Pole jednego trójkąta wynosi

$$P_1=\frac12ar.$$

Wszystkich takich trójkątów jest $n$, zatem pole wielokąta jest równe

$$P=nP_1 =n\cdot\frac12ar =\frac12n\cdot a\cdot r.$$