NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 261

a) Wszystkie boki równe, ale nie wszystkie kąty równe

• Jako czworokąt można narysować dowolny romb niebędący kwadratem, na przykład romb o kątach $60^\circ$ i $120^\circ$. Wszystkie jego boki są równe, lecz kąty nie są równe.
• Przykład sześciokąta daje ciąg punktów

$$A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=\left(1+\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right),$$ $$D=(1,\sqrt2),\quad E=(0,\sqrt2),\quad F=\left(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

Każdy z sześciu kolejnych boków ma długość $1$, ale kąty wewnętrzne nie są wszystkie równe: występują między innymi kąty $90^\circ$ i $135^\circ$.

b) Wszystkie kąty równe, ale nie wszystkie boki równe

• Jako czworokąt można narysować prostokąt niebędący kwadratem, na przykład prostokąt o bokach $1$ i $2$. Wszystkie kąty mają po $90^\circ$, lecz boki nie są równe.
• Sześciokąt można zbudować, rysując kolejne boki w kierunkach różniących się o $60^\circ$ i nadając im długości

$$2,\ 1,\ 2,\ 2,\ 1,\ 2.$$

Przeciwległe boki mają wtedy jednakowe długości i przeciwne kierunki, więc łamana się zamyka. Każdy kąt wewnętrzny ma $120^\circ$, ale nie wszystkie boki są równe.

Każdy $n$-kąt foremny ma dokładnie $n$ osi symetrii.

Dla nieparzystego $n$ każda oś przechodzi przez jeden wierzchołek i środek przeciwległego boku. Dla parzystego $n$ połowa osi przechodzi przez pary przeciwległych wierzchołków, a połowa przez środki par przeciwległych boków.

Zatem liczby osi są równe:

$$3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10$$

dla kolejnych wielokątów z podpunktów a)–h).

Połączmy środek $O$ okręgu opisanego na foremnym $n$-kącie z jego wierzchołkami. Otrzymujemy $n$ przystających trójkątów równoramiennych. Kąt środkowy każdego z nich ma miarę

$$\frac{360^\circ}{n}.$$

Każdy kąt przy podstawie takiego trójkąta ma więc miarę

$$\frac12\left(180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\right).$$

Promień poprowadzony do wierzchołka dzieli kąt wewnętrzny wielokąta na dwie równe części. Miara kąta wewnętrznego jest zatem równa

$$2\cdot\frac12\left(180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\right) =180^\circ-\frac{360^\circ}{n} =\frac{n-2}{n}\cdot180^\circ.$$