NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 246

a) Podstawa długości $4$ leży naprzeciw kąta $45^\circ$. Z rozszerzonego twierdzenia sinusów:

$$4=2R\sin45^\circ.$$

Zatem

$$R=\frac{4}{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}}=2\sqrt2\ \text{cm}.$$

b) Niech $M$ będzie środkiem podstawy $AB$. Wtedy $AM=BM=3$ cm, a $OM\perp AB$. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $OMB$:

$$OM=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \text{cm}.$$

Wierzchołek $C$ może leżeć po przeciwnej stronie cięciwy niż środek $O$ albo po tej samej stronie. Wysokość trójkąta ma więc jedną z dwóch długości:

$$CM=5+4=9\ \text{cm}$$

lub

$$CM=5-4=1\ \text{cm}.$$

Długość każdego ramienia wynosi odpowiednio

$$\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}\ \text{cm}$$

albo

$$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\ \text{cm}.$$

Niech $h$ oznacza wysokość jednego z trójkątów, a $x$ połowę jego podstawy. Wysokość przechodzi przez środek okręgu. Odległość środka okręgu od prostej zawierającej podstawę ma wartość $|8-h|$, więc z twierdzenia Pitagorasa

$$x^2+(8-h)^2=8^2.$$

Dla trójkąta o wysokości $10$:

$$x_1=\sqrt{64-(8-10)^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15},$$

a zatem

$$P_1=\frac12\cdot2x_1\cdot10=20\sqrt{15}.$$

Dla trójkąta o wysokości $4$:

$$x_2=\sqrt{64-(8-4)^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3,$$

więc

$$P_2=\frac12\cdot2x_2\cdot4=16\sqrt3.$$

Szukany stosunek wynosi

$$\frac{P_1}{P_2}=\frac{20\sqrt{15}}{16\sqrt3}=\frac{5\sqrt5}{4}.$$

Kąt przy wierzchołku ma miarę $120^\circ$, zatem każdy kąt przy podstawie ma miarę

$$\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

Z rozszerzonego twierdzenia sinusów długość ramienia, leżącego naprzeciw kąta $30^\circ$, wynosi

$$a=2R\sin30^\circ=2\cdot4\cdot\frac12=4.$$

Pole obliczamy z dwóch ramion i kąta między nimi:

$$P=\frac12a^2\sin120^\circ =\frac12\cdot16\cdot\frac{\sqrt3}{2} =4\sqrt3.$$

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta wpisanego w okrąg:

$$P=\frac{abc}{4R}.$$

a) Po podstawieniu danych:

$$P=\frac{4\cdot13\cdot15}{4\cdot\frac{65}{8}} =\frac{780}{\frac{65}{2}} =24\ \text{cm}^2.$$

b) Tym razem niewiadomą jest $R$:

$$84=\frac{13\cdot14\cdot15}{4R}.$$

Stąd

$$R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84} =\frac{65}{8}\ \text{cm} =8{,}125\ \text{cm}.$$