NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 245

a) W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego. Najpierw obliczamy jej długość z twierdzenia Pitagorasa:

$$c=\sqrt{7^2+12^2}=\sqrt{193}\ \text{cm}.$$

Zatem

$$R=\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{193}}{2}\ \text{cm}.$$

b) Oznaczmy długość przeciwprostokątnej przez $c$. Pole trójkąta obliczone z tej przeciwprostokątnej i opuszczonej na nią wysokości wynosi

$$18=\frac12\cdot c\cdot4,$$

więc $c=9$ cm. Stąd $R=\frac c2=\frac92$ cm, a długość okręgu jest równa

$$L=2\pi R=2\pi\cdot\frac92=9\pi\ \text{cm}.$$

Przeciwprostokątna każdego trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg jest średnicą, więc ma długość

$$c=2R=10.$$

a) Niech każda przyprostokątna ma długość $x$. Wtedy

$$x^2+x^2=10^2,$$

czyli $x=5\sqrt2$. Obwód wynosi

$$O=10+2\cdot5\sqrt2=10(1+\sqrt2).$$

b) Niech krótsza przyprostokątna ma długość $x$, a dłuższa $3x$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$$x^2+(3x)^2=10^2,$$

stąd $10x^2=100$ i $x=\sqrt{10}$. Zatem przyprostokątne mają długości $\sqrt{10}$ i $3\sqrt{10}$, a obwód jest równy

$$O=10+\sqrt{10}+3\sqrt{10}=10+4\sqrt{10}=2(5+2\sqrt{10}).$$

Ustawmy przyprostokątne trójkąta na dwóch prostopadłych osiach i oznaczmy ich długości przez $a$ i $b$. Środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej, ma więc współrzędne odpowiadające połowom długości przyprostokątnych. Jego odległości od tych przyprostokątnych są zatem równe $\frac a2$ i $\frac b2$.

Z warunków zadania otrzymujemy

$$\frac a2=4,\qquad \frac b2=6$$

lub odwrotnie. Przyprostokątne mają więc długości $8$ i $12$. Pole trójkąta wynosi

$$P=\frac12\cdot8\cdot12=48.$$