NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 203

a) Niech ramię ma długość $x$, a podstawa $x+4$. Z obwodu

$$2x+(x+4)=28,\qquad x=8.$$

Podstawa ma więc długość $12$ cm. Wysokość dzieli ją na połowy, zatem

$$h=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt7\ \text{cm}.$$

Pole wynosi

$$P=\frac12\cdot12\cdot2\sqrt7=12\sqrt7\ \text{cm}^2.$$

b) Oznaczmy ramię przez $l$, podstawę przez $a$, a kąt przy podstawie przez $\alpha$. Ponieważ $\cos\alpha=\frac25$,

$$\frac{a/2}{l}=\frac25,\qquad a=\frac45l.$$

Z obwodu

$$2l+\frac45l=28,\qquad l=10,\qquad a=8.$$

Ponadto $\sin\alpha=\frac{\sqrt{21}}5$, więc wysokość jest równa $2\sqrt{21}$ cm. Stąd

$$P=\frac12\cdot8\cdot2\sqrt{21}=8\sqrt{21}\ \text{cm}^2.$$

a) Skoro sinus kąta wynosi $\frac5{13}$, przyprostokątna naprzeciwko tego kąta ma długość

$$26\cdot\frac5{13}=10\ \text{cm}.$$

Druga przyprostokątna ma długość

$$\sqrt{26^2-10^2}=24\ \text{cm},$$

więc $P=\frac12\cdot10\cdot24=120\ \text{cm}^2$.

b) Mamy $2{,}4=\frac{12}{5}$, zatem przyprostokątne są w stosunku $12:5$, a przeciwprostokątna odpowiada $13$ częściom. Ponieważ ma długość $26$ cm, przyprostokątne mają długości $24$ cm i $10$ cm. Stąd

$$P=\frac12\cdot24\cdot10=120\ \text{cm}^2.$$

c) Kąty ostre są dopełniające, więc $\cos\beta=\sin\alpha$. Warunek przyjmuje postać

$$2\sin\alpha=\sqrt3,\qquad \sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Przyprostokątne mają więc długości $13\sqrt3$ cm i $13$ cm. Zatem

$$P=\frac12\cdot13\sqrt3\cdot13 =\frac{169\sqrt3}{2}\ \text{cm}^2.$$