NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 180

a) Oznaczmy przyprostokątne przez $x$ i $y$. Ponieważ obwód wynosi $30\ \text{cm}$, a przeciwprostokątna $13\ \text{cm}$,

$$x+y=17.$$

Ponadto $x^2+y^2=13^2=169$. Zatem

$$17^2=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=169+2xy,$$

więc $xy=60$. Liczby $x,y$ są pierwiastkami równania

$$t^2-17t+60=0=(t-5)(t-12),$$

czyli mają długości $5\ \text{cm}$ i $12\ \text{cm}$.

b) Niech $x$ będzie przyprostokątną równą średniej przeciwprostokątnej $2$ i drugiej przyprostokątnej $y$. Mamy

$$x=\frac{2+y}{2}, \qquad x^2+y^2=4.$$

Z pierwszego równania $y=2x-2$. Po podstawieniu:

$$x^2+(2x-2)^2=4,$$ $$5x^2-8x=0.$$

Ponieważ $x>0$, otrzymujemy $x=\frac85$, a następnie $y=\frac65$. Obwód wynosi

$$2+\frac85+\frac65=\frac{24}{5}=4{,}8\ \text{cm}.$$

Bok rombu ma długość

$$a=\frac{4\sqrt{41}}4=\sqrt{41}\ \text{cm}.$$

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. Niech krótsza przekątna ma długość $d$, a dłuższa $d+2$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$$\left(\frac d2\right)^2+\left(\frac{d+2}{2}\right)^2=41.$$

Po pomnożeniu przez $4$:

$$d^2+(d+2)^2=164,$$ $$d^2+2d-80=0, \qquad(d-8)(d+10)=0.$$

Długość jest dodatnia, więc $d=8\ \text{cm}$, a $d+2=10\ \text{cm}$.

Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna ma długość

$$c=\sqrt{8^2+15^2}=17\ \text{cm}.$$

Pole półokręgu o średnicy $d$ jest równe $\frac{\pi d^2}{8}$. Dlatego suma pól półokręgów na przyprostokątnych wynosi

$$\frac{\pi\cdot8^2}{8}+\frac{\pi\cdot15^2}{8} =\frac{\pi(8^2+15^2)}8 =\frac{\pi\cdot17^2}{8},$$

czyli jest równa polu półokręgu na przeciwprostokątnej.

W półokręgach na przyprostokątnych pozostają dwa księżyce po odjęciu dwóch segmentów kołowych. Półokrąg na przeciwprostokątnej składa się z tych samych dwóch segmentów oraz trójkąta. Po odjęciu równych pól segmentów otrzymujemy, że suma pól księżyców jest równa polu trójkąta:

$$P_{K_1}+P_{K_2}=\frac12\cdot8\cdot15=60\ \text{cm}^2.$$

a) Niech $x$ będzie długością każdej przyprostokątnej odciętego trójkąta prostokątnego równoramiennego. Ukośny bok ośmiokąta ma długość $x\sqrt2$, a bok leżący na boku wyjściowego kwadratu — $1-2x$. Z foremności

$$x\sqrt2=1-2x,$$

więc

$$x=\frac1{2+\sqrt2}.$$

Bok ośmiokąta ma zatem długość

$$x\sqrt2=\frac{\sqrt2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-1,$$

a jego obwód jest równy $8(\sqrt2-1)$.

b) Ukośny bok ośmiokąta długości $1$ jest przeciwprostokątną odciętego trójkąta prostokątnego równoramiennego. Każda jego przyprostokątna ma długość $\frac{\sqrt2}{2}$. Bok wyjściowego kwadratu wynosi więc

$$\frac{\sqrt2}{2}+1+\frac{\sqrt2}{2}=1+\sqrt2,$$

a jego obwód jest równy $4(1+\sqrt2)$.

Najpierw sprawdzamy zależność:

$$a^2+b^2=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2,$$ $$a^2+b^2=x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2 =x^4+2x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2=c^2.$$

Wzory rzeczywiście dają więc trójki pitagorejskie.

a) Dla $x=4$, $y=3$:

$$a=7,\qquad b=24,\qquad c=25.$$

b) Dla $x=4$, $y=1$:

$$a=15,\qquad b=8,\qquad c=17,$$

czyli po uporządkowaniu $8,15,17$.

c) Dla $x=6$, $y=1$ otrzymujemy $35,12,37$, czyli $12,35,37$.

d) Dla $x=5$, $y=2$ otrzymujemy $21,20,29$, czyli $20,21,29$.

e) Dla $x=3$, $y=2$ otrzymujemy $5,12,13$.

f) Dla $x=6$, $y=3$ otrzymujemy $27,36,45$.