NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 178

Niech $a$ oznacza długość przyprostokątnej. Wtedy druga przyprostokątna ma długość $a$, przeciwprostokątna $a\sqrt2$, a pole wynosi $\frac{a^2}{2}$.

a) Z warunku na obwód

$$a(2+\sqrt2)=6(1+\sqrt2),$$

więc

$$a=\frac{6(1+\sqrt2)}{2+\sqrt2}=3\sqrt2.$$

Zatem $P=\frac{(3\sqrt2)^2}{2}=9$.

b)

$$a\sqrt2-a=2(\sqrt2-1),$$

czyli $a=2$. Stąd $P=\frac{2^2}{2}=2$.

c) Środkowa do jednej przyprostokątnej jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $a$ i $\frac a2$. Zatem

$$\sqrt{a^2+\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt5}{2}=4\sqrt5,$$

więc $a=8$. Ostatecznie $P=\frac{8^2}{2}=32$.

Kąty ostre mają miary $30^\circ$ i $60^\circ$. Oznaczmy krótszą przyprostokątną przez $a$; dłuższa ma długość $a\sqrt3$. Z warunku

$$a\sqrt3-a=12-4\sqrt3=4(3-\sqrt3) =4\sqrt3(\sqrt3-1)$$

otrzymujemy $a=4\sqrt3$. Dłuższa przyprostokątna ma długość $12$, więc

$$P=\frac12\cdot4\sqrt3\cdot12=24\sqrt3.$$

a) Oznaczmy wysokość przez $h$. W prawym trójkącie kąt przy wierzchołku ma $60^\circ$, a bok naprzeciw niego ma długość $2\sqrt6$. Zatem

$$2\sqrt6=h\sqrt3, \qquad h=2\sqrt2.$$

Lewy trójkąt ma kąty ostre po $45^\circ$, więc $x=h=2\sqrt2$ oraz

$$y=h\sqrt2=4.$$

b) W małym trójkącie $45^\circ$–$45^\circ$–$90^\circ$ obie przyprostokątne mają długość $4$, zatem

$$y=4\sqrt2.$$

W dużym trójkącie wysokość $4$ leży naprzeciw kąta $30^\circ$, więc cała podstawa ma długość $4\sqrt3$. Ponieważ jej prawy fragment ma długość $4$,

$$x=4\sqrt3-4=4(\sqrt3-1).$$

a) Kąt $120^\circ$ musi być kątem między ramionami. Wysokość opuszczona na podstawę długości $8\sqrt3\ \text{cm}$ dzieli ją na odcinki po $4\sqrt3\ \text{cm}$ i kąt $120^\circ$ na dwa kąty po $60^\circ$. Powstały trójkąt jest typu $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$, więc każde ramię ma długość $8\ \text{cm}$. Zatem

$$Ob=8\sqrt3+2\cdot8=8(\sqrt3+2)\ \text{cm}.$$

b) Wysokość długości $3\ \text{cm}$ dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Przy kącie $30^\circ$ otrzymujemy bok długości $6$ i fragment podstawy $3\sqrt3$. Przy kącie $45^\circ$ otrzymujemy bok $3\sqrt2$ i fragment podstawy $3$. Stąd

$$Ob=6+3\sqrt2+3\sqrt3+3 =3(3+\sqrt2+\sqrt3)\ \text{cm}.$$

Trójkąt ma kąty $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$. Jeśli krótsza przyprostokątna ma długość $a$, to $a\sqrt3=18$, więc

$$a=6\sqrt3, \qquad c=2a=12\sqrt3.$$

Ustawmy przyprostokątne prostopadle. Środkowa poprowadzona z jednego kąta ostrego jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $6\sqrt3$ i $9$, zatem ma długość

$$\sqrt{(6\sqrt3)^2+9^2}=\sqrt{189}=3\sqrt{21}.$$

Druga środkowa jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $18$ i $3\sqrt3$, więc ma długość

$$\sqrt{18^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{351}=3\sqrt{39}.$$

Każdy z trójkątów jest prostokątny równoramienny, więc jego przeciwprostokątna jest $\sqrt2$ razy dłuższa od przyprostokątnej.

a) Druga przyprostokątna ma długość $\sqrt2$, a przeciwprostokątna $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$. Zatem

$$Ob=\sqrt2+\sqrt2+2=2(\sqrt2+1).$$

b) Przeciwprostokątna ma długość $6\sqrt2$, więc

$$Ob=6+6+6\sqrt2=6(2+\sqrt2).$$

c) Jeśli przyprostokątna ma długość $a$, to $a\sqrt2=8$, czyli $a=4\sqrt2$. Stąd

$$Ob=4\sqrt2+4\sqrt2+8=8(\sqrt2+1).$$

a) Brakującą przyprostokątną $u$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$$u^2+(\sqrt2)^2=(2\sqrt2)^2, \qquad u^2=6,$$

więc $u=\sqrt6$. Zatem

$$Ob=\sqrt2+\sqrt6+2\sqrt2=3\sqrt2+\sqrt6.$$

b) Jest to trójkąt $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ o przeciwprostokątnej $4$. Krótsza przyprostokątna ma długość $2$, a dłuższa $2\sqrt3$. Stąd

$$Ob=4+2+2\sqrt3=2(3+\sqrt3).$$

c) Bok $AB=3$, leżący naprzeciw kąta $60^\circ$, jest dłuższą przyprostokątną. Krótsza ma zatem długość $\sqrt3$, a przeciwprostokątna $2\sqrt3$. Otrzymujemy

$$Ob=3+\sqrt3+2\sqrt3=3(1+\sqrt3).$$