NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 177

Porównujemy kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych.

a)

$$3^2+4^2=9+16=25=5^2,$$

więc trójkąt jest prostokątny.

b)

$$6^2+8^2=36+64=100=10^2,$$

więc trójkąt jest prostokątny.

c)

$$5^2+9^2=25+81=106\neq121=11^2,$$

więc trójkąt nie jest prostokątny.

d)

$$2^2+4^2=4+16=20=(2\sqrt5)^2,$$

więc trójkąt jest prostokątny.

a) Przekątna $d$ dzieli kwadrat o boku $a$ na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości $a$. Z twierdzenia Pitagorasa

$$d^2=a^2+a^2=2a^2.$$

Ponieważ $d>0$, mamy $d=a\sqrt2$.

b) Niech $a$ oznacza długość każdej przyprostokątnej. Z warunku na pole

$$\frac{a^2}{2}=72,$$

więc $a^2=144$ i $a=12\ \text{cm}$. Przeciwprostokątna ma długość $12\sqrt2\ \text{cm}$, zatem

$$Ob=12+12+12\sqrt2=12(2+\sqrt2)\ \text{cm}.$$

a) Wysokość $h$ trójkąta równobocznego o boku $a$ dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej $a$ i jednej przyprostokątnej $\frac a2$. Zatem

$$h^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2,$$

czyli

$$h^2=\frac34a^2.$$

Ponieważ $h>0$, otrzymujemy $h=\frac{a\sqrt3}{2}$.

b) Dla $h=6\ \text{cm}$ mamy

$$6=\frac{a\sqrt3}{2}, \qquad a=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\ \text{cm}.$$

Stąd

$$Ob=3a=12\sqrt3\ \text{cm}.$$