NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 109

Równe wielomiany mają równe współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej.

a) Rozwijamy pierwszy wielomian:

$$u(x)=(ax-1)(ax+2)=a^2x^2+ax-2.$$

Porównanie z $w(x)=9x^2-3x-2$ daje jednocześnie

$$a^2=9,\qquad a=-3.$$

Oba warunki spełnia $a=-3$.

b) Mamy

$$u(x)=(x^2-a)(ax+1)=ax^3+x^2-a^2x-a.$$

Współczynnik przy $x^3$ daje $a=2$. Wtedy $-a^2=-4$ oraz $-a=-2$, więc zgadzają się również pozostałe współczynniki.

c) Z porównania współczynników przy $x^3$ otrzymujemy

$$-1=a.$$

Dla $a=-1$ zachodzi

$$a^3+a=-2,\qquad a^2=1,$$

zatem współczynnik przy $x$ i wyraz wolny także są właściwe.

Rozkładamy wielomiany na czynniki. Znak zmienia się w pierwiastku nieparzystej krotności, a w pierwiastku parzystej krotności pozostaje taki sam.

a)

$$(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3).$$

Pierwiastki $-1$, $2$, $3$ są jednokrotne. Iloczyn jest dodatni na przedziałach $(-1;2)$ i $(3;\infty)$.

b)

$$(x^2-1)^3(x^2-2x+1)=(x-1)^5(x+1)^3.$$

Oba pierwiastki mają nieparzystą krotność, więc iloczyn jest ujemny między nimi i równy zeru na końcach. Otrzymujemy $[-1;1]$.

c)

$$\begin{aligned} &(-x^2+x+2)(x^2-4x-5)\\ &=-(x-2)(x-5)(x+1)^2. \end{aligned}$$

Pierwiastek $-1$ jest dwukrotny, a $2$ i $5$ są jednokrotne. Wyrażenie jest nieujemne dla $x\in[2;5]$ oraz w izolowanym zerze $x=-1$.

d)

$$(x-3)^2(x^2-6x+8)=(x-3)^2(x-2)(x-4).$$

Znak jest nieujemny poza przedziałem $(2;4)$, a dodatkowo wyrażenie zeruje się dla $x=3$. Stąd

$$x\in(-\infty;2]\cup\{3\}\cup[4;\infty).$$

e)

$$(x^2-1)(7-x)(1-x)=(x-1)^2(x+1)(x-7).$$

Czynnik kwadratowy nie zmienia znaku, zatem iloczyn jest niedodatni od $-1$ do $7$ włącznie.

f)

$$(6-x)^2(x-3)(x+5)=(x-6)^2(x-3)(x+5).$$

Iloczyn jest ujemny między $-5$ i $3$, a zeruje się także w punkcie $6$.

a) Wyłączamy $x$ i rozkładamy trójmian:

$$x^3+x^2-20x=x(x+5)(x-4).$$

Wszystkie trzy pierwiastki są jednokrotne, więc

$$x\in(-5;0)\cup(4;\infty).$$

b)

$$x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2).$$

Analiza znaków daje

$$x\in(-\infty;0)\cup(1;2).$$

c)

$$-x^4+6x^3-9x^2=-x^2(x-3)^2\leqslant0$$

dla każdego $x\in\mathbb R$.

d)

$$3x^4+x^3+x^2=x^2(3x^2+x+1).$$

Dla trójmianu $3x^2+x+1$ wyróżnik jest równy

$$\Delta=1-12=-11<0,$$

a współczynnik przy $x^2$ jest dodatni. Cały iloczyn jest więc nieujemny i nie może być mniejszy od zera.

e) Grupujemy wyrazy:

$$x^3+4x^2+x+4=(x+4)(x^2+1).$$

Ponieważ $x^2+1>0$, rozwiązaniem jest $x>-4$.

f)

$$-x^3+3x^2+2x-6=(x-3)(2-x^2).$$

Pierwiastki to $-\sqrt2$, $\sqrt2$ i $3$. Z analizy znaków otrzymujemy

$$x\in[-\sqrt2;\sqrt2]\cup[3;\infty).$$

g)

$$\begin{aligned} x^5-x^3-x^2+1 &=(x^2-1)(x^3-1)\\ &=(x-1)^2(x+1)(x^2+x+1). \end{aligned}$$

Trójmian $x^2+x+1$ jest zawsze dodatni, więc o znaku decyduje $x+1$; czynnik $(x-1)^2$ może jedynie wyzerować iloczyn. Stąd $x\geqslant-1$.

h)

$$\begin{aligned} -x^5+3x^3-8x^2+24 &=-(x^2-3)(x^3+8)\\ &=-(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x+2)(x^2-2x+4). \end{aligned}$$

Ostatni trójmian jest dodatni dla każdego $x$. Kolejne pierwiastki rzeczywiste to $-2$, $-\sqrt3$, $\sqrt3$, wszystkie jednokrotne. Iloczyn jest ujemny na

$$(-2;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;\infty).$$

a) Podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $x$ i $2x$, a długość graniastosłupa wynosi $2x+2$. Dla $x>0$:

$$\frac12\cdot x\cdot2x\cdot(2x+2)=24.$$

Po uproszczeniu otrzymujemy

$$x^3+x^2-12=0,$$

czyli

$$(x-2)(x^2+3x+6)=0.$$

Drugi czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc $x=2$. Oznaczone krawędzie mają wtedy długości $2$ dm, $4$ dm i $6$ dm, a trzecia krawędź trójkąta ma długość $2\sqrt5$ dm. Ponieważ $2\sqrt5<6$, najdłuższa krawędź ma $6$ dm.

b) Przekrój jest trapezem o podstawach $3x$ i $x$ oraz wysokości $x$. Jego pole wynosi

$$P_p=\frac{3x+x}{2}\cdot x=2x^2.$$

Długość graniastosłupa to $6x+8$, zatem

$$2x^2(6x+8)=28.$$

Stąd

$$3x^3+4x^2-7=0,$$

czyli

$$(x-1)(3x^2+7x+7)=0.$$

Trójmian ma ujemny wyróżnik, więc jedynym dodatnim rozwiązaniem jest $x=1$. Długość graniastosłupa wynosi wówczas $6x+8=14$ dm. Krawędzie trapezu mają długości $3$, $1$, $\sqrt2$, $\sqrt2$ dm, wszystkie mniejsze od $14$ dm.

Oznaczmy bok sześciokąta przez

$$s=2x-3.$$

Ponieważ $s>0$, mamy $x>\frac32$. Pole sześciokąta foremnego jest równe

$$P_p=\frac{3\sqrt3}{2}s^2.$$

Wprowadzamy $t=2x-3>0$. Wtedy wysokość graniastosłupa ma postać

$$x-\frac12=\frac{t+2}{2}.$$

Z warunku na objętość:

$$\frac{3\sqrt3}{2}t^2\cdot\frac{t+2}{2} =\frac{9\sqrt3}{4}.$$

Po skróceniu dostajemy

$$t^2(t+2)=3,$$

czyli

$$t^3+2t^2-3=(t-1)(t^2+3t+3)=0.$$

Trójmian ma ujemny wyróżnik, a zatem $t=1$. Stąd $x=2$, bok podstawy ma $1$ dm, a wysokość graniastosłupa $\frac32$ dm.

Pole powierzchni całkowitej wynosi

$$\begin{aligned} P_c&=2P_p+6s\cdot h\\ &=2\cdot\frac{3\sqrt3}{2}+6\cdot1\cdot\frac32\\ &=3\sqrt3+9. \end{aligned}$$

Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$\begin{aligned} w(n) &=(n^2+3n+1)^2-1\\ &=(n^2+3n)(n^2+3n+2)\\ &=n(n+3)(n+1)(n+2)\\ &=n(n+1)(n+2)(n+3). \end{aligned}$$

Liczby $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$ są czterema kolejnymi liczbami naturalnymi. Ich iloczyn jest więc równy $w(n)$ dla każdego $n\in\mathbb N$.

Ponieważ $w$ jest wielomianem trzeciego stopnia, $a\neq0$. Rozwijamy iloczyn czynników liniowych:

$$\begin{aligned} &(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\\ &=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2\\ &\quad +(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3. \end{aligned}$$

Po pomnożeniu przez $a$ otrzymujemy

$$\begin{aligned} w(x)&=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2\\ &\quad+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3. \end{aligned}$$

Porównujemy współczynniki z $w(x)=ax^3+bx^2+cx+d$:

$$b=-a(x_1+x_2+x_3),$$ $$c=a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3),$$ $$d=-ax_1x_2x_3.$$

Dzieląc te równości przez niezerowe $a$, dostajemy wszystkie trzy żądane związki.