NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 105

Początkowa objętość prostopadłościanu jest równa

$$5\cdot 6\cdot 8=240\ \text{cm}^3.$$

Po zwiększeniu każdej krawędzi objętość wynosi więc $240+320=560\ \text{cm}^3$. Ponieważ $x>0$, rozwiązujemy równanie

$$(x+5)(x+6)(x+8)=560.$$

Po rozwinięciu i rozłożeniu wielomianu na czynniki otrzymujemy

$$\begin{aligned} x^3+19x^2+118x-320&=0,\\ (x-2)(x^2+21x+160)&=0. \end{aligned}$$

Dla trójmianu $x^2+21x+160$ wyróżnik jest ujemny: $\Delta=21^2-4\cdot160=-199$, zatem nie ma on pierwiastków rzeczywistych. Jedynym dopuszczalnym rozwiązaniem jest $x=2$.

Po wycięciu narożników wysokość pudełka jest równa $x$, a wymiary jego podstawy to $30-2x$ oraz $40-2x$.

a)

$$\begin{aligned} V(x)&=x(30-2x)(40-2x)\\ &=4x(15-x)(20-x)\\ &=4x^3-140x^2+1200x. \end{aligned}$$

Wszystkie wymiary muszą być dodatnie, więc

$$x>0,\qquad 30-2x>0,\qquad 40-2x>0.$$

Najsilniejszy warunek to $x<15$, zatem $D=(0;15)$.

b) Z wykresu odczytujemy, że największa objętość jest osiągana dla $x\approx6\ \text{cm}$. Przy tej dokładności wymiary pudełka wynoszą

$$(40-2\cdot6)\ \text{cm}\times(30-2\cdot6)\ \text{cm}\times6\ \text{cm} =28\ \text{cm}\times18\ \text{cm}\times6\ \text{cm}.$$

c) Obliczamy obie wartości:

$$V(10)=10\cdot10\cdot20=2000,$$ $$V(2{,}5)=2{,}5\cdot25\cdot35=2187{,}5.$$

Zatem $V(10)<V(2{,}5)$ i podana nierówność nie zachodzi.

d) Warunek $V(x)=2000$ prowadzi do równania

$$4x^3-140x^2+1200x-2000=0.$$

Dzielimy przez $4$ i rozkładamy wielomian:

$$\begin{aligned} x^3-35x^2+300x-500&=0,\\ (x-10)(x^2-25x+50)&=0. \end{aligned}$$

Stąd

$$x=10\quad\text{lub}\quad x=\frac{25-5\sqrt{17}}2 \quad\text{lub}\quad x=\frac{25+5\sqrt{17}}2.$$

Ostatnia liczba jest większa od $15$, więc nie należy do dziedziny.

Wysokość pudełka wynosi $x$, a bok kwadratowej podstawy ma długość $12-2x$.

a)

$$\begin{aligned} V(x)&=x(12-2x)^2\\ &=4x(6-x)^2\\ &=4x^3-48x^2+144x. \end{aligned}$$

Warunki $x>0$ i $12-2x>0$ dają dziedzinę $D=(0;6)$.

b) Podstawiamy kolejne wartości $x$:

c) Z wykresu odczytujemy w przybliżeniu

$$x\in\left(0;\frac12\right]\cup[4;6).$$

d) Rozwiązujemy nierówność algebraicznie:

$$\begin{aligned} 4x^3-48x^2+144x&\leqslant64,\\ x^3-12x^2+36x-16&\leqslant0,\\ (x-4)(x^2-8x+4)&\leqslant0. \end{aligned}$$

Pierwiastki czynników to

$$4-2\sqrt3,\qquad 4,\qquad 4+2\sqrt3.$$

Siatka znaków wielomianu daje zbiór $(-\infty;4-2\sqrt3]\cup[4;4+2\sqrt3]$. Po przecięciu z dziedziną $(0;6)$ otrzymujemy

$$x\in(0;4-2\sqrt3]\cup[4;6).$$