NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 104

a) Pierwiastki czynników to $-6$, $-\frac12$, $0$. Siatka znaków iloczynu w kolejnych przedziałach ma układ $-$, $+$, $-$, $+$. Zatem

$$x\in(-\infty;-6)\cup\left(-\frac12;0\right).$$

b)

$$(2-3x)(x^2-2) =-3\left(x-\frac23\right)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2).$$

Zera są uporządkowane tak: $-\sqrt2<\frac23<\sqrt2$. Siatka znaków wyjściowego iloczynu daje kolejno $+$, $-$, $+$, $-$, dlatego

$$x\in(-\infty;-\sqrt2]\cup\left[\frac23;\sqrt2\right].$$

c)

$$(x^2-4)(x-3)^2=(x+2)(x-2)(x-3)^2.$$

Pierwiastek $3$ jest dwukrotny, więc znak nie zmienia się w tym punkcie. Kolejne znaki to $+$, $-$, $+$, $+$, a nierówność jest ostra. Stąd

$$x\in(-\infty;-2)\cup(2;3)\cup(3;\infty).$$

d)

$$x^4-5x^3+4x^2=x^2(x-1)(x-4).$$

Pierwiastek $0$ jest dwukrotny. Iloczyn jest ujemny między $1$ i $4$, a równy zeru dla $0$, $1$, $4$. Zatem

$$x\in\{0\}\cup[1;4].$$

e) Grupujemy wyrazy:

$$x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2.$$

Pierwiastek $-2$ jest dwukrotny. Poza zerami znak jest znakiem $x-1$, więc

$$x\in(1;\infty).$$

f)

$$x^3+3x^2-9x-27=(x+3)^2(x-3).$$

Czynnik kwadratowy nie zmienia znaku, a nierówność jest nieostra. Stąd

$$x\in(-\infty;3].$$

g)

$$\begin{aligned} x^3-7x-6 &=(x+1)(x^2-x-6)\\ &=(x+1)(x+2)(x-3). \end{aligned}$$

Dla uporządkowanych zer $-2$, $-1$, $3$ siatka ma znaki $-$, $+$, $-$, $+$. Zatem

$$x\in(-\infty;-2)\cup(-1;3).$$

h)

$$\begin{aligned} (x^2-4)(x^2+x-12) &=(x-2)(x+2)(x+4)(x-3). \end{aligned}$$

Pierwiastki $-4$, $-2$, $2$, $3$ są jednokrotne. Siatka znaków daje kolejno $+$, $-$, $+$, $-$, $+$, więc

$$x\in(-\infty;-4]\cup[-2;2]\cup[3;\infty).$$

Dla $-1<x<3$ mamy $x+2>0$, więc pierwszy błąd znajduje się w wierszu $x+2$: znak $-$ należy zastąpić znakiem $+$.

Dla $x<-2$ wszystkie trzy czynniki są ujemne, zatem ich iloczyn jest ujemny. W ostatnim wierszu znak $+$ należy więc zastąpić znakiem $-$.

Dla $-1<x<3$ dwa pierwsze czynniki są dodatnie, a $x-3$ jest ujemny. Iloczyn jest ujemny, więc także tutaj w ostatnim wierszu znak $+$ należy zastąpić znakiem $-$.

Poprawny układ znaków iloczynu na kolejnych przedziałach to

$$-,\quad +,\quad -,\quad +.$$

Miejsca zerowe $-2$, $-1$, $3$ dołączamy, ponieważ nierówność jest nieostra.