NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 306

Jeśli wspólną część oznaczymy przez (t), to suma trzech miar musi być równa (180^\circ).

a) (6t=180^\circ), więc (t=30^\circ): kąty (30^\circ,60^\circ,90^\circ).

b) (9t=180^\circ), więc (t=20^\circ): kąty (20^\circ,60^\circ,100^\circ).

c) (24t=180^\circ), więc (t=7{,}5^\circ=7^\circ30'): kąty

$$15^\circ,\quad67{,}5^\circ=67^\circ30',\quad97{,}5^\circ=97^\circ30'.$$

Oznaczmy rozważany bok przez (AB). Wysokość poprowadzona z (A) jest prostopadła do boku (BC). Skoro tworzy z (AB) kąt (40^\circ), to

$$\angle B=90^\circ-40^\circ=50^\circ.$$

Analogicznie wysokość z (B) jest prostopadła do (AC). Jeśli tworzy z (AB) kąt (20^\circ), to

$$\angle A=90^\circ-20^\circ=70^\circ.$$

Trzeci kąt ma miarę

$$\angle C=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ.$$

Porównujemy uporządkowane rosnąco boki.

a) (\frac{20}{15}=\frac{24}{18}=\frac{32}{24}=\frac43), więc trójkąty są podobne.

b) Po uporządkowaniu drugiego trójkąta:

$$\frac34=\frac68=\frac{7{,}5}{10},$$

więc trójkąty są podobne.

c) Dwa pierwsze ilorazy są równe (1{,}5), lecz

$$\frac{2{,}8}{1{,}8}\ne1{,}5,$$

więc trójkąty nie są podobne.

d) (\frac6{20}=\frac{7{,}5}{25}=\frac9{30}=0{,}3), więc trójkąty są podobne.

Obwód (T_1) wynosi (14) cm.

a) Skala (T_2) do (T_1) jest równa

$$k=\frac{35}{14}=2{,}5.$$

Boki (T_2) mają długości (12{,}5) cm, (12{,}5) cm i (10) cm.

b) Wysokość (T_1) opuszczona na bok długości (4) ma długość

$$h=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21},$$

zatem (P_1=2\sqrt{21}\ \text{cm}^2). Ponieważ (P_2=4\sqrt{21}\ \text{cm}^2), mamy (k^2=2), czyli (k=\sqrt2). Boki (T_2) to

$$5\sqrt2,\quad5\sqrt2,\quad4\sqrt2\ \text{cm}.$$

Ponieważ

$$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}=\frac15,$$

odcinek (PQ) jest równoległy do (AB), a trójkąt (CPQ) jest podobny do (CAB) w skali (\frac15). Zatem

$$PQ=\frac15\cdot20=4\ \text{dm},$$

a stosunek pól wynosi (\frac1{25}):

$$P_{CPQ}=\frac1{25}\cdot50=2\ \text{dm}^2.$$

Niech bok kwadratu ma długość (s). Z rysunku jego boki leżą na przyprostokątnych, a przeciwległy wierzchołek leży na przeciwprostokątnej. Mały trójkąt przy boku długości (15) jest podobny do całego trójkąta, co daje standardową zależność

$$\frac{s}{10}+\frac{s}{15}=1.$$

Stąd

$$3s+2s=30, \qquad s=6.$$

Pole kwadratu wynosi więc

$$s^2=36.$$

Twierdzenie o dwusiecznej mówi, że każdy bok jest dzielony w stosunku długości dwóch pozostałych boków.

• Bok (8) jest dzielony w stosunku (4:6=2:3), więc na odcinki (3{,}2) cm i (4{,}8) cm.
• Bok (4) jest dzielony w stosunku (6:8=3:4), więc na odcinki (1\frac57) cm i (2\frac27) cm.
• Bok (6) jest dzielony w stosunku (4:8=1:2), więc na odcinki (2) cm i (4) cm.

Oznaczmy bok kwadratu (ABCD) przez (L), a bok kwadratu (CEFG) przez (s). Niech (\varphi) będzie kątem między odcinkami (CD) i (CE).

Przejście od (CD) do (CB) oraz od (CE) do (CG) jest obrotem o (90^\circ), ponieważ są to pary kolejnych boków kwadratów. Zatem kąt między (CB) i (CG) także ma miarę (\varphi). Pola rozważanych trójkątów są więc równe

$$P_{\triangle DEC} =\frac12\cdot CD\cdot CE\cdot\sin\varphi =\frac12Ls\sin\varphi,$$ $$P_{\triangle CBG} =\frac12\cdot CB\cdot CG\cdot\sin\varphi =\frac12Ls\sin\varphi.$$

Stąd (P_{\triangle DEC}=P_{\triangle CBG}).

Płot odcina przy wierzchołku trójkąt podobny do całej działki. Ma on połowę pola całego trójkąta, więc jego skala liniowa wynosi

$$k=\sqrt{\frac12}=\frac1{\sqrt2}.$$

Jego ramiona mają po (60k=30\sqrt2) m, a podstawa (40k=20\sqrt2) m. Obwód części trójkątnej:

$$2\cdot30\sqrt2+20\sqrt2=80\sqrt2\approx113\ \text{m}.$$

Obwód pozostałego trapezu:

$$40+2(60-30\sqrt2)+20\sqrt2 =160-40\sqrt2\approx103\ \text{m}.$$