MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 272

Korzystamy z twierdzenia sinusów. Jeżeli sinus wyznaczanego kąta ma dwie wartości w $(0^\circ,180^\circ)$, sprawdzamy obie sumą kątów trójkąta.

a) $\frac a{\sin60^\circ}=8$, więc $\sin\beta=\frac12$; pasuje tylko $\beta=30^\circ$, zatem $\gamma=90^\circ$.

b) Wspólny iloraz wynosi $8\sqrt2$. Stąd $\sin\gamma=\frac12$; $\gamma=150^\circ$ dałoby ujemny trzeci kąt, więc $\gamma=30^\circ$ i $\alpha=105^\circ$.

c) Wspólny iloraz to $6\sqrt3$, zatem $\sin\beta=\frac{\sqrt3}{2}$. Otrzymujemy pary $(\beta,\gamma)=(60^\circ,90^\circ)$ lub $(120^\circ,30^\circ)$.

d) Wspólny iloraz to $4\sqrt2$, więc $\sin\gamma=\frac{\sqrt2}{2}$. Otrzymujemy $(\alpha,\gamma)=(105^\circ,45^\circ)$ lub $(15^\circ,135^\circ)$.

Najpierw obliczamy trzeci kąt, a następnie stosujemy twierdzenie sinusów.

a) $\gamma=75^\circ$ oraz $\frac c{\sin75^\circ}=6\sqrt2-2\sqrt6$. Zatem $a=3\sqrt6-3\sqrt2$ i $b=6-2\sqrt3$.

b) $\gamma=120^\circ$ oraz $\frac b{\sin15^\circ}=6(\sqrt6+\sqrt2)$. Stąd $a=6(\sqrt3+1)$ i $c=9\sqrt2+3\sqrt6$.

Korzystamy z rozszerzonego twierdzenia sinusów $a=2R\sin\alpha$.

a) $R=\frac{12}{2\sin135^\circ}=6\sqrt2$.

b) Najdłuższy bok leży naprzeciw kąta $120^\circ$, więc ma długość $2\cdot5\sin120^\circ=5\sqrt3$.

Z twierdzenia cosinusów $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$.

a) $c^2=9+36-18=27$, zatem $c=3\sqrt3$.

b) $c^2=27+4-12\sqrt3\cos150^\circ=49$, więc $c=7$.

Niech krótszy z pozostałych boków ma długość $x$, a dłuższy $2x$. Z twierdzenia cosinusów dla kąta $60^\circ$:

$$9^2=x^2+(2x)^2-2\cdot x\cdot2x\cos60^\circ=3x^2.$$

Stąd $x=3\sqrt3$.

Trójkąt jest rozwartokątny dokładnie wtedy, gdy kwadrat najdłuższego boku jest większy od sumy kwadratów dwóch pozostałych.

a) $9^2<5^2+8^2$, więc trójkąt jest ostrokątny.

b) $10^2>4^2+7^2$, więc trójkąt jest rozwartokątny.

Dla boków $a=4$, $b=4\sqrt3$ i kąta $30^\circ$ kwadraty przekątnych wynoszą

$$a^2+b^2\pm2ab\cos30^\circ=64\pm48.$$

Niech drugi bok ma długość $b$. Z prawa równoległoboku $10^2+6^2=2(7^2+b^2)$, więc $b=\sqrt{19}$. Dla wektorów boków $\vec u,\vec v$ przekątne to $\vec u+\vec v$ i $\vec u-\vec v$, zatem

$$|\cos\varphi|=\frac{|7^2-b^2|}{10\cdot6}=\frac12.$$

Szukany kąt jest rozwarty.